equazione delle onde: dalla unidimensionale a quella 3d

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rargh
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equazione delle onde: dalla unidimensionale a quella 3d

Messaggio da rargh » 15 mag 2005, 08:37

Ho avuto un po' di difficoltà a capire l'equazione delle onde.
Quella unidimensionale è facile, basta vedere una forma che si propaga su una corda a velocità costante, e la relazione si ricava subito.
Ora mi stavo chiedendo se quella generale (laplaciano di f =1/(c^2)*derivata seconda di f rispetto al tempo) si puù dedurre da quella unidimensionale tenendo conto del secondo fatto:
nel caso in cui avessi che f varia solo lungo una certa direzione (per esempio solo lungo x, o solo lungo una generica retta), l'equazione delle onde deve ridursi a quella unidimensionale, in cui la derivata seconda è effettuata rispetto a quella direzione.
Ora l'unico operatore di f tale che, nel caso in cui f vari solo lungo una qualsiasi direzione, si riduca alla derivata seconda in quella direzione credo che sia il laplaciano.

Huxeley
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Messaggio da Huxeley » 26 mag 2005, 16:53

Non credo che si possa fare quello che pensi tu. Il modo di ricavare l'equazione delle onde tridimensionali è diverso da quello unidimensionale. inoltre le due equazioni coincidono solo a grandi distanze
A piccola distanza si ha
∂2s/∂t2=V2[∆s-2s/r]
per r tendente a infinito il secondo si annulla ottenendo quella che comunemente si chiama equazione delle onde.
Ultima modifica di Huxeley il 01 giu 2005, 17:35, modificato 1 volta in totale.

rargh
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Messaggio da rargh » 30 mag 2005, 17:41

Ehm, ripropongo il problema aggiungendo un'ipotesi:

Ho la mia funzione d'onda f(x,y,z,t), e ho questo operatore T(f)=0.
So che se la funzione è tale che nello spazio varia solo lungo una direzione v in R3, e quindi le derivate lungo una qualsiasi direzione (nello spazio) ortogonale a v sono nulle, allora T(f)=c^2*derivata seconda lungo v di f - derivata parziale seconda di f rispetto a t.
Ora aggiungo un'ipotesi importante, la linearità di T. Questo perché dev'esserci la sovrapposizione degli effetti.
Con questa nuova ipotesi posso dedurre la forma generale di T?

Mi viene in mente un'altra cosa. Se abbiamo una funzione qualsiasi f(x,y,z) possiamo rappresentarla come una somma di funzioni base (anche non numerabile, per cui ricorreremmo a un integrale) che variano ognuna solo lungo una direzione? Se u è un vettore di modulo unitario, e r il vettore posizione (x,y,z) si avrebbe l'espressione di f tramite un integrale (doppio) di funzioni di u e di (u*v) (prodotto scalare).

[/u]

Huxeley
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Messaggio da Huxeley » 01 giu 2005, 17:34

Vediamo se ho capito. Tu definisci un operatore T(f)=cdf/dv- /∂t ove df/dv è la derivata seconda direzionale nella direzione del vettore v. L’equazione delle onde per una corda nella direzione v si può scrivere T(f)=0 Poi parli di un’ipotesi su T. cioè la linearità ma questa non è un’ipotesi perché T è definito ed è lineare. Inoltre in fisica le ipotesi devono avere una base sperimentale.
Osserva anche che la derivata seconda direzionale ha un’espressione complicata se ridotta alle veriabili x,y,z . Tu dici posso dedurre la forma generale di T ? Ma che significa?

La questione credo che sia fisica. L’equazione delle onde che ottieni si riferisce ad una corda tesa. Il passo successivo sarebbe quello di pensare ad un piano elastico omogeneo ed isotropo di dimensioni indefinite che subisce una deformazione in un suo punto o in un suo tratto di superficie. In ogni direzione esso si comporta come una corda elastica. Da questo tu vuoi determinare la deformazione del piano al tempo t nel punto P. Dobbiamo osservare però che se la deformazione iniziale è in un tratto di superficie la cosa è assolutamente impossibile perché l’onda risultante dipende anche dalla forma del tratto. Se la deformazione avviene in un punto (caso particolare ) L’onda sarà verosimilmente circolare con fronti d’onda in fase lungo qualsiasi circonferenza con centro nel punto di deformazione iniziale.
Da ciò possiamo capire che l’equazione delle onde bidimensionale deve essere simile a quella monodimensionale con l’aggiunta di un termine ∂f/∂y accanto a ∂f/∂x ma come fare a dedurla solo matematicamente se occorrono delle ipotesi fisiche?

La terza questione . Mi pare di capire che vuoi sapere se è possibile sviluppare una funzione come
F(x,y,z)=Σφ(x)+Σψ(y)+Σζ(z) con φ,ψ,ζ funzioni di una sola variabile e Σ è il simbolo di sommatoria, aggiungo io che sarebbe interessante il caso F(x,y,z)=Σφ(x)*Σψ(y)*Σζ(z)
In generale non è possibile. Per risolvere un’equazione differenziale ad esempio si possono cercare soluzioni di questo tipo ma si ottengono solo casi particolari.

rargh
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Messaggio da rargh » 02 giu 2005, 19:34

Quello che volevo dire, quando dicevo si può dedurre la forma, era questo:
partiamo dal laplaciano: se suppongo che f vari solo lungo una direzione, per esempio ha derivate parziali lungo y e lungo z nulle, allora il laplaciano si riduce all'equazione unidimensionale:

[1] D^2f/Dx^2+D^2f/Dy^2+D^2f/Dz^2+(1/c^2)*D^2f/Dt^2=T(f)

[a] se Df/Dy=Df/Dz=0 allora
[2] T(f)=D^2f/Dx^2+(1/c^2)*D^2f/Dt^2

Ora quello che mi chiedevo io era se si poteva dedurre il contrario, cioè:
so che se [a] allora T(f) ha la forma [2]. Più in generale, T(f) ha la forma [2] se si suppone che f vari solo lungo una qualsiasi delle direzioni.

E' qui che mi chiedevo se matematicamente si poteva dimostrare che un operatore che se [a] si riduce a [2] allora deve avere la forma [1].

Se non bastava, mi chiedevo se bastava aggiungere come ipotesi la linearità di T anche nella forma generale e non solo nella forma [2].

Huxeley
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Messaggio da Huxeley » 03 giu 2005, 15:06

Nota che nel tuo caso le onde sono piane. mentre nel caso che vuoi trattare (pur non generale ) sono sferiche

rargh
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Messaggio da rargh » 04 giu 2005, 12:19

Ok, ma ora il problema si è ridotto a una questione puramente matematica sull'operatore T. Inoltre l'operatore T tratta le onde di qualsiasi forma, non solo sferiche.

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