Conoscete bene la formula per la velocità relativa "w" tra "v" e "u" in relatività ristretta:
w=(v-u)/(1-u*v/c^2)
Vi propongo questa piccola, stupida dimostrazioncella.
Sappiamo che in relatività galileiana w=v-u, ma basta tirare in ballo l'elettromagnetismo per dimostrare che è errata.
Supponiamo che la vera w sia v-u moltiplicata per una funzione correttiva:
w=(v-u)*f(u,v)
ora sappiamo a priori alcune proprietà di f:
la velocità relativa di v rispetto a u è esattamente opposta a quella di u rispetto a v, quindi
[1] f(u,v)=f(v,u);
la velocità relativa di v rispetto a u=0 è proprio v:
[2] f(0,v)=1
sappiamo che se v=c , w=c quindi
[3] f(u,c)=1/(1-u/c)
[4] Supponiamo che f sia continua in un intorno di (0,0) e tale che esista il limite di f(u,v) per (u,v) -> (0,0);
Prendo quindi g(u,v)=1/f(u,v)
la proprietà [3] diventa:
[3] g(u,c)=1-u/c;
[5] supponiamo g(u,v) che sia sviluppabile come serie di potenze nell'intorno di (0,0);
mi scuso di non sapere usare il latex
g(u,v)=sum[Aij*(u^i)*(v^j)]
dalla [2] e dalla [4] A00=1;
dalla [1] Aij=Aji (cioè i termini misti tra u e v hanno i coefficienti simmetrici);
dalla [2] A0j=0; e quindi con la [1] Ai0=0; (cioè rimangono solo i termini misti di u e v);
dalla [3] e dalla [1] Aij=0 per i>1 e/o per j>1, quindi restano solo A00 e A11;
ancora dalla [3] deduco che A11=1/c^2;
dimostrazioncina di una formula di relatività
Ho postato questa dimostrazione su un altro forum e mi è stato dimostrato che è sbagliata. Riporto il testo:
Controesempio:
f'(u,v) = (v-u)/(1- u*v/c2 + uv(c-u)(c-v)(u-v)2 P(u,v))
dove P(u,v) e' un polinomio arbitrario, e di grado
arbitrario, in u e v tale che P(u,v)=P(v,u).
(1) la funzione k(u,v) = uv(c-u)(c-v)(u-v)2 P(u,v) soddisfa
k(u,u) = 0
per cui, per v=u, f' si riduce a f e la [1] e' automaticamente
soddisfatta.
(2) la funzione k(u,v) soddisfa
k(u,v) = k(v,u)
per cui la [2] continua a funzionare.
(3) la funzione k(u,v) soddisfa
k(0,v) = 0
per cui, per u=0, la f' si riduce a f e vale
automaticamente [3].
(4) la funzione k(u,v) soddisfa
k(u,c) = 0
per cui, per v=c, la f' si riduce a f e vale
automaticamente [4].
Infine evidentemente in un intorno sufficientemente piccolo
di u=v=0 la funzione f' e' analitica essendo un rapporto
tra polinomi con denominatore che non ammette (u,v)=(0,0) come zero.
Quindi f' (ma anche l'analoga di h che e' ora un polinomio)
e' sviluppabile in serie di Taylor in u,v nell'intorno dell'origine...
La ragione e' che avete sbagliato a fare i conti con le serie
e vi e' sfuggita tutta una classe infinita di funzioni come quelle di
sopra...
Scusate!
Controesempio:
f'(u,v) = (v-u)/(1- u*v/c2 + uv(c-u)(c-v)(u-v)2 P(u,v))
dove P(u,v) e' un polinomio arbitrario, e di grado
arbitrario, in u e v tale che P(u,v)=P(v,u).
(1) la funzione k(u,v) = uv(c-u)(c-v)(u-v)2 P(u,v) soddisfa
k(u,u) = 0
per cui, per v=u, f' si riduce a f e la [1] e' automaticamente
soddisfatta.
(2) la funzione k(u,v) soddisfa
k(u,v) = k(v,u)
per cui la [2] continua a funzionare.
(3) la funzione k(u,v) soddisfa
k(0,v) = 0
per cui, per u=0, la f' si riduce a f e vale
automaticamente [3].
(4) la funzione k(u,v) soddisfa
k(u,c) = 0
per cui, per v=c, la f' si riduce a f e vale
automaticamente [4].
Infine evidentemente in un intorno sufficientemente piccolo
di u=v=0 la funzione f' e' analitica essendo un rapporto
tra polinomi con denominatore che non ammette (u,v)=(0,0) come zero.
Quindi f' (ma anche l'analoga di h che e' ora un polinomio)
e' sviluppabile in serie di Taylor in u,v nell'intorno dell'origine...
La ragione e' che avete sbagliato a fare i conti con le serie
e vi e' sfuggita tutta una classe infinita di funzioni come quelle di
sopra...
Scusate!