sull'energia cinetica
sull'energia cinetica
volevo chiedere perchè l'energia cinetica è proporzionale al quadrato della velocità. infatti se consideriamo un moto uniformemente accelerato con accelerazione a= 1 m/s*s e rappresentiamo l'energia cinetica in funzione della velocità vediamo che per portare il corpo da 0 a 1 m/s bisogna aggiungergli 1 joule mentre per portarlo da 1 a 2 m/s bisogna aggiungerne 3. Perchè con la stessa variazione di velocità bisogna faticare di +?
Beh, l'energia cinetica (di un punto materiale) dipende dal quadrato della velocità perchè è definita così...
Il fatto che a parità di accelerazione $ \Delta E_c $ dipenda dalla velocità iniziale è dovuto al fatto che l'energia NON è invariante rispetto ad un cambiamento di sistema di riferimento (anche se si passa da uno inerziale ad un altro ancora inerziale). E questa dipendenza è diversa da altre (ad esempio quella della quantità di moto)... vediamo un po' come:
per il Teorema dell'Energia cinetica, abbiamo che $ L = \Delta E_c $.
Quindi $ \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s} = \Delta E_c $
ma $ \displaystyle d\overrightarrow{s} = d \overrightarrow{s} \cdot {dt \over dt} = \overrightarrow{v} \cdot dt $
Da cui segue evidentemente che: $ \displaystyle \Delta E_c = \int_{t_1}^{t_2} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} \; dt $
e quindi la variazione di energia cinetica dipende, oltre che dalla forza, dalla velocità del punto materiale relativa al sistema di riferimento scelto.
Non si tratta quindi di "fare più fatica", ma di vedere le cose da un diverso punto di vista. In merito, su questo forum avevo postato un problemino interessante, che aiuta un po' a capire come funzionano queste cose... lo trovi qui:
http://olimpiadi.sns.it/oliForum/viewto ... sc&start=0
con la relativa soluzione del buon faroz
Il fatto che a parità di accelerazione $ \Delta E_c $ dipenda dalla velocità iniziale è dovuto al fatto che l'energia NON è invariante rispetto ad un cambiamento di sistema di riferimento (anche se si passa da uno inerziale ad un altro ancora inerziale). E questa dipendenza è diversa da altre (ad esempio quella della quantità di moto)... vediamo un po' come:
per il Teorema dell'Energia cinetica, abbiamo che $ L = \Delta E_c $.
Quindi $ \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s} = \Delta E_c $
ma $ \displaystyle d\overrightarrow{s} = d \overrightarrow{s} \cdot {dt \over dt} = \overrightarrow{v} \cdot dt $
Da cui segue evidentemente che: $ \displaystyle \Delta E_c = \int_{t_1}^{t_2} \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} \; dt $
e quindi la variazione di energia cinetica dipende, oltre che dalla forza, dalla velocità del punto materiale relativa al sistema di riferimento scelto.
Non si tratta quindi di "fare più fatica", ma di vedere le cose da un diverso punto di vista. In merito, su questo forum avevo postato un problemino interessante, che aiuta un po' a capire come funzionano queste cose... lo trovi qui:
http://olimpiadi.sns.it/oliForum/viewto ... sc&start=0
con la relativa soluzione del buon faroz
ri-risposta e paradosso
Appunto per questo la definizione mi sembra sbagliata! analizziamo questo caso: un moto accelerato con accelerazione uniformemente varia. scriviamo un po' di formule considerando che "A" è l'accelerazione finale, "a" è l'accelerazione media, "V" è la velocità finale, "v" è la velocità media, "t" è il tempo, "f" è la variazione di accelerazione nel tempo:
A=f*t; a=1/2*f*t; V=a*t=1/2*f*t*t
per cui a=V/t; v=1/3*V
Scriviamo altre formule sul lavoro e sull'energia cinetica considerando che "E" è l'energia cinetica finale, "e" è l'energia cinetica iniziale, F è la forza media, "m" è la massa, "s" è lo spostamento e "L" è il lavoro:
L=E-e
ma se e=0:
L=E; F*s=E; m*a*s=E; m*a*v*t=E; m*V/t*1/3*V*t=1/3*m*V*V
ma l'energia cinetica è anche uguale a 1/2*m*V*V per cui la situazione è paradossale[/img]
A=f*t; a=1/2*f*t; V=a*t=1/2*f*t*t
per cui a=V/t; v=1/3*V
Scriviamo altre formule sul lavoro e sull'energia cinetica considerando che "E" è l'energia cinetica finale, "e" è l'energia cinetica iniziale, F è la forza media, "m" è la massa, "s" è lo spostamento e "L" è il lavoro:
L=E-e
ma se e=0:
L=E; F*s=E; m*a*s=E; m*a*v*t=E; m*V/t*1/3*V*t=1/3*m*V*V
ma l'energia cinetica è anche uguale a 1/2*m*V*V per cui la situazione è paradossale[/img]
hai semplicemente sbagliato a fare i conti. Scriviamo le cose per bene... mi attengo a quello che volevi fare tu, quindi considero l'accelerazione lineare nel tempo e il movimento in un'unica direzione. Quello che faccio comunque si può fare con qualunque funzione (integrabile in senso di Riemann) del tempo e in $ \mathbb{R}^3 $.
$ \displaystyle a(t) = k \cdot t $
$ \displaystyle v(t) = \int_0^t a(x)\; dx = \int_0^t k \cdot x \;dx = {1 \over 2}k\cdot t^2 $
quindi
$ \displaystyle L = \int_0^{s_1} F \cdot ds = \int_0^t ma(x) \cdot v(x) \; dx = \int_0^t m \cdot kx{1 \over 2} kx^2 \; dx = $
$ \displaystyle = {1 \over 2}mk^2 \cdot \int_0^t x^3 \; dx = {1 \over 8} k^2t^4 $
Vediamo ora l'energia cinetica:
$ \displaystyle E = {1 \over 2}mv^2 = {1 \over 2} \left({1 \over 2}k\cdot t^2 \right)^2 = {1 \over 8}k^2t^4 $
quindi non c'è nessuna contraddizione. Funziona tutto perfettamente
$ \displaystyle a(t) = k \cdot t $
$ \displaystyle v(t) = \int_0^t a(x)\; dx = \int_0^t k \cdot x \;dx = {1 \over 2}k\cdot t^2 $
quindi
$ \displaystyle L = \int_0^{s_1} F \cdot ds = \int_0^t ma(x) \cdot v(x) \; dx = \int_0^t m \cdot kx{1 \over 2} kx^2 \; dx = $
$ \displaystyle = {1 \over 2}mk^2 \cdot \int_0^t x^3 \; dx = {1 \over 8} k^2t^4 $
Vediamo ora l'energia cinetica:
$ \displaystyle E = {1 \over 2}mv^2 = {1 \over 2} \left({1 \over 2}k\cdot t^2 \right)^2 = {1 \over 8}k^2t^4 $
quindi non c'è nessuna contraddizione. Funziona tutto perfettamente