Ho una trave pesante, omogenea e lunga L appoggiata ad un estremo ad una parete perfettamente verticale (come la classica scala a pioli) e
all'altro estremo al pavimento. f1 e f2 sono i coefficienti d'attrito statico per il contatto ai due estremi.
Determinare le forze agenti sulla trave, quando questa è in quiete e forma un angolo alpha con il pavimento.
Trave appoggiata
Non puoi proporre il problema in questo modo. Occorre conoscere la massa mentre la lunghezza non serve. Se l'angolo alfa è assegnato, Non possono essere assegnati entrambi i coefficienti di attrito.
infatti l'equilibrio si ha per tg(alfa)=(1-f1f2)/2f2
e le reazioni vincolari sono
T1=mgf2/(1+f1f2)
T2=mg/(1+f1f2)
infatti l'equilibrio si ha per tg(alfa)=(1-f1f2)/2f2
e le reazioni vincolari sono
T1=mgf2/(1+f1f2)
T2=mg/(1+f1f2)
Ultima modifica di Huxeley il 10 apr 2005, 15:35, modificato 1 volta in totale.
Io posso scrivere i dati che voglio, sarete poi voi ad usare i dati utili e a dare i nomi alle variabili che vi interessano, ad esempio m la massa.
Inoltre, il coefficiente d'attrito è determinato dai due materiali a contatto. Mentre per dati materiali io posso avere equilibrio per diversi angoli alpha.
Ti ricordo che la legge dell'attrito di primo distacco è una diseguaglianza, non un'eguaglianza.
Inoltre, il coefficiente d'attrito è determinato dai due materiali a contatto. Mentre per dati materiali io posso avere equilibrio per diversi angoli alpha.
Ti ricordo che la legge dell'attrito di primo distacco è una diseguaglianza, non un'eguaglianza.
la forza agente sulla trave è una sola quella di gravità. Le altre sono reazioni vincolari o forze d'attrito. Il sistema risolvente dovrebbe essere:
T1+Fr2-mg=0 (componente verticale della risultante =0)
T2-Fr1=0 (componente orizzontale della risultante =0)
T2sen(alfa)+Fr2cos(alfa)-mg/2 cos(alfa)=0 (momento =0)
Fr1<=f1T1 (forza di attrito statico in basso)
Fr2<=f2T2 (forza di attrito statico in alto)
T1<=mg (condizione inclusa nell prima eq.)
0<=alfa<=90° (condizione fisica)
La soluzione è un'area triangolare di ammissibilità in un sistema di assi cartesiani T1,T2 con vertici i punti A(mg,f1mg) B(mg,0) C(mg/(1+f1f2),f1mg/(1+f1f2)
La terza equazione ci dice, dopo qualche calcolo, che
T2>= mgcos(alfa)/[2(sen(alfa)+f2cos(alfa) ] che riduce l'area di ammissibilità.
Per una possibile soluzione deve essere 0<=T2<=mg/2 che dà una diseguaglianza su alfa tg(alfa )>=(1-2f1f2)/(2f1) se f1f2<1/2
Di più non so fare (credo)
T1+Fr2-mg=0 (componente verticale della risultante =0)
T2-Fr1=0 (componente orizzontale della risultante =0)
T2sen(alfa)+Fr2cos(alfa)-mg/2 cos(alfa)=0 (momento =0)
Fr1<=f1T1 (forza di attrito statico in basso)
Fr2<=f2T2 (forza di attrito statico in alto)
T1<=mg (condizione inclusa nell prima eq.)
0<=alfa<=90° (condizione fisica)
La soluzione è un'area triangolare di ammissibilità in un sistema di assi cartesiani T1,T2 con vertici i punti A(mg,f1mg) B(mg,0) C(mg/(1+f1f2),f1mg/(1+f1f2)
La terza equazione ci dice, dopo qualche calcolo, che
T2>= mgcos(alfa)/[2(sen(alfa)+f2cos(alfa) ] che riduce l'area di ammissibilità.
Per una possibile soluzione deve essere 0<=T2<=mg/2 che dà una diseguaglianza su alfa tg(alfa )>=(1-2f1f2)/(2f1) se f1f2<1/2
Di più non so fare (credo)
Ultima modifica di Huxeley il 13 apr 2005, 08:08, modificato 1 volta in totale.
nella realtà è evidente che le reazioni hanno un valore esatto sperimentalmente ricavabile, tuttavia le equazioni che ho scritto non consentono di determinare valori esatti ma solo aree di ammissibilità. Per quanto ne sappia, per il coefficiente di attrito statico sono state proposte in passato delle formule che eviterebbero le disequazioni ma tali leggi sono talmente imprecise che fanno preferire le diseguaglianze.
Ciò che io trovo strano è comunque che l'area di ammissibilità delle reazioni vincolari non dipenda dallìangolo. Nella realtà invece credo che esse dipendano dall'angolo. Se la trave è quasi verticale ,la reazione in basso sarà uguale circa al peso, mentre dalle equazioni sembra che la cosa non abbia importanza.
Ciò che io trovo strano è comunque che l'area di ammissibilità delle reazioni vincolari non dipenda dallìangolo. Nella realtà invece credo che esse dipendano dall'angolo. Se la trave è quasi verticale ,la reazione in basso sarà uguale circa al peso, mentre dalle equazioni sembra che la cosa non abbia importanza.
Salve a tutti,
per iniziare sottolineo il fatto che le forze agenti sulla trave sono 4 e non 1. Forza d'attrito e reazioni sono comunque forze agenti sulla trave.
Secondo, supponendo di conoscere la massa, M, e le due forze d'attrito, F1 e F2, si possono ricavare le reazioni T1 e T2 usando la seconda legge di Newton per corpi rigidi:
Somma di tutte le forze = Ma = 0 l'accellerazione e' nulla in questo caso.
Somma di tutti i momenti torcenti = 0 non c'e' rotazione.
Scegli come asse di rotazione quello passante per il centro di massa e perpendicolare al piano contenente la trave cioe' il piano xy.
si ottengono due eq. vettoriali e due incognite:
Mg + T1 + T2 + F1 + F2 = 0
L/2 x (F1 + T1) - L/2 x (F2 + T2) = 0
L/2 e' un vettore cosi' come le forze. x prodotto vettoriale.
Conoscendo l'angolo tra l'asse X e la trave si possono scrivere le due eq. vettoriali in componenti e si ricavano 4 equazioni con 4 incognite che sono le componenti di T1 e T2.
Anche se non e' facile da vedere, la sbarra, se "scivolasse" ruoterebbe intorno all'asse su descritto.
per iniziare sottolineo il fatto che le forze agenti sulla trave sono 4 e non 1. Forza d'attrito e reazioni sono comunque forze agenti sulla trave.
Secondo, supponendo di conoscere la massa, M, e le due forze d'attrito, F1 e F2, si possono ricavare le reazioni T1 e T2 usando la seconda legge di Newton per corpi rigidi:
Somma di tutte le forze = Ma = 0 l'accellerazione e' nulla in questo caso.
Somma di tutti i momenti torcenti = 0 non c'e' rotazione.
Scegli come asse di rotazione quello passante per il centro di massa e perpendicolare al piano contenente la trave cioe' il piano xy.
si ottengono due eq. vettoriali e due incognite:
Mg + T1 + T2 + F1 + F2 = 0
L/2 x (F1 + T1) - L/2 x (F2 + T2) = 0
L/2 e' un vettore cosi' come le forze. x prodotto vettoriale.
Conoscendo l'angolo tra l'asse X e la trave si possono scrivere le due eq. vettoriali in componenti e si ricavano 4 equazioni con 4 incognite che sono le componenti di T1 e T2.
Anche se non e' facile da vedere, la sbarra, se "scivolasse" ruoterebbe intorno all'asse su descritto.
La cosa non è così facile ,come credi caro cga. le equazioni che hai scritto sono alcune di quelle scritte da me precedentemente. il problema è che non si trova una soluzione unica ma un'area di ammissibilità a causa delle disequazioni vincolari. Il momento può essere calcolato rispetto a qualsiasi polo. nella tua equazione è calcolato rispetto al baricentro, nella mia rispetto al punto di contatto in basso. Se vuoi puoi disquisire se le forze agenti sono una o quattro, possiamo farlo ma è del tutto inutile. Parlando di forze agenti si intendono naturalmente le azioni, non le reazioni vincolari e le forze di attrito che sono generate dalle prime.Tuttavia tu sai che secondo gli insegnamenti costanti di Laplace, Lagrange, Maupertuis ed altri nell'equilibrio le reazioni vincolari vanno considerate come le forze agenti (anche se non lo sono)
il fatto e' che tu hai complicato le cose. Il problema non ti dice che F1 e F2 sono delle generiche forze d'attrito ma sono delle forze d'attrito tali che, per quel dato angolo, si ha equilibrio. Citando il testo del problema:
"Determinare le forze agenti sulla trave, quando questa e' in quiete e forma un angolo alpha con il pavimento.
Quindi si parte sapendo che la trave e' in quiete.
Se non si sapesse che le forze d'attrito permettono la condizione di equilibrio allore si che si dovrebbe considerare un range per il quale al variare delle forze e dell'angolo si ha equilibrio.
Inoltre in questo problema, per la sua semplicita', non e' necessario introdurre il concetto di forze attive e forze passive e quindi il principio di D'Alembert.
Nelle eq. che ho scritto si intende per
F1 = f1T1x componente F1y e' nulla (forza d'attrito l'ungo l'asse x)
F2 = f2T2y componente F2x e' nulla (forza d'attrito l'ungo l'asse y)
Le incognite sono T1x, T1y, T2x, T2y.
"Determinare le forze agenti sulla trave, quando questa e' in quiete e forma un angolo alpha con il pavimento.
Quindi si parte sapendo che la trave e' in quiete.
Se non si sapesse che le forze d'attrito permettono la condizione di equilibrio allore si che si dovrebbe considerare un range per il quale al variare delle forze e dell'angolo si ha equilibrio.
Inoltre in questo problema, per la sua semplicita', non e' necessario introdurre il concetto di forze attive e forze passive e quindi il principio di D'Alembert.
Nelle eq. che ho scritto si intende per
F1 = f1T1x componente F1y e' nulla (forza d'attrito l'ungo l'asse x)
F2 = f2T2y componente F2x e' nulla (forza d'attrito l'ungo l'asse y)
Le incognite sono T1x, T1y, T2x, T2y.