Caduta spaziale

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bh3u4m
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Caduta spaziale

Messaggio da bh3u4m » 03 apr 2005, 13:28

Beccatevi questo (stavolta non è delle olimpidi fisica):

Un'enorme astronave è costituita di un cilindro di raggio r, dove r è molto grande, e ruota intorno a se stessa con velocità angolare omega.
Degli astronauti al suo interno vedono dell'acqua cadere in caduta libera da un monte di altezza h.
Determinare il valore dell'arco S di spostamento tra il punto sottostante la zona di rilascio dell'acqua ed il punto in cui essa tocca il terreno.

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bh3u4m
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Messaggio da bh3u4m » 03 apr 2005, 13:30

L'ho trovato bello non per il problema in sè, ma per l'ideale di poter costruire una tale astronave che porterebbe ad avere effetti simili a quelli provocati dalla forza gravitazionale sulla terra. Chissà se in futuro potremo vedere una tale meraviglia :P

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 03 apr 2005, 13:34

Ma il monte è dentro l'astronave?!?
E l'asse di rotazione dell'astronave è l'asse del cilindro?

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bh3u4m
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Messaggio da bh3u4m » 03 apr 2005, 14:24

MindFlyer ha scritto:Ma il monte è dentro l'astronave?!?
E l'asse di rotazione dell'astronave è l'asse del cilindro?
L'ho detto che il raggio dell'astronave è moooolto grande... è come se sul bordo interno del cilindro si trovassero le stesse cose che si trovano sulla crosta terrestre, la rotazione dell'astronave permette loro di essere sottoposti ad una campo di forza che li spinge verso il basso, come sulla terra, è una soluzione fantasiosa per creare delle colonie umane nello spazio, altro che gravità artificiale! Essendo il raggio molto grande (io pensavo sui 5-10 km) l'astronave può contenere anche montagne.
L'astronave ruota attorno al suo asse.

mark86
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Messaggio da mark86 » 04 apr 2005, 19:08

Se non sbaglio dovremmo richiamare alla mente l'esperimento di Guglielmini sulla Torre degli Asinelli.... cioè il fatto che (in questo caso) il corpo in caduta libera che si trova all'interno del cilindro ha una velocità lineare minore sulla sommità della montagna (perchè descrive una circonferenza di raggio minore) rispetto alla velocità lineare della "Terra" che si trova sulla superficie interna del cilindro e descrive una circonferenza maggiore. Pertanto l'acqua dovrebbe cadere in ritardo poichè mantiene la sua velocità lineare iniziale lungo la direzione tangente e accelera in direzione radiale. E' corretta l'analisi????? Per la soluzione completa ci vuole ancora un po' di tempo.... è tempo di prova simulata d'esame!!!! Mica si scherza!!!!

mark86
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Messaggio da mark86 » 05 apr 2005, 14:07

Non c'è nessuno che possa chiarirmi le idee? E' corretto quanto ho scritto sopra? Così (se ci riesco) vado avanti....

Huxeley
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Messaggio da Huxeley » 05 apr 2005, 16:26

Il monte è esterno all’astronave? Se è esterno è parallelo all’asse del cilindro? L’astronave ruota semplicemente o ha anche un moto di traslazione?

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Marco
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Messaggio da Marco » 05 apr 2005, 16:38

Me lo ricordo, 'sto problema. Era una vecchia prova d'ammissione in Normale. Mi pare (ma, come gli aficionados sanno, non sono un granché in Fisica, quindi occhio...) che venga bene in... ve lo sbianchetto per non rovinare la festa agli altri...

HINT: ...in un s.d.rif. inerziale. L'acqua che cade va dritta. A prescindere di quel che fanno gli osservatori in moto circolare (peggio per loro!!).
Boh, provateci...

M.
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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bh3u4m
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Messaggio da bh3u4m » 05 apr 2005, 23:00

Ok, ci sei Marco... ora basta impostare correttamente il problema e risolverlo.
Se volete complicarvi la vita, calcolatelo direttamente nel sistema di riferimento dell'astronave (qui credo ci voglia il calcolo differenziale :) )

Se la montagna fosse esterna al cilindro l'acqua si metterebbe a vagare nello spazio vuoto senza ricadere sull'astronave.
L'idea è che l'interno sia pieno di ossigeno ed abitabile, l'esterno è un guscio protettivo.

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info
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Messaggio da info » 05 apr 2005, 23:07

Marco credo che lo sappia fare :lol: ...

vi lascio con 'stà roba, che non c'entra nulla col problema, ma sono solo mie seghe mentali.. probabilmente mi sono scontrato con qualcosa più grande di mè...avevo decio di non postarle ma dato che ci siamo! (sia ben chiaro bh3u4m che in treno NON parleremo di questo :D )

Invito qualcuno a scrivere la sol dell'esercizio (ciò che scrivo ora infatti non lo è).

Per un approfondimento, si potrebbe provare a guardare quanto effettivamente quella macchina simuli la forza di gravità cercando di capire come verrebbe vista la traiettoria dell'acqua da un anstronauta posto ai bordi esterni o meglio sul bordo esterno dove h và a sbattere per semplificare. E' un sistema di riferimento non inerziale. La traiettoria cmq dovrà giacere su un piano. Io mi sono fatto un disegnino disegnando questo piano o meglio la sezione del cilindro per poi fare le somme vettoriali. Apro (in diretta, wow!) il mio libro. Scusate se scrivo cavolate!

Ecco la formula, sono tutti vettori:

a = a' + a(tr) + 2*w ^ v'

dove a è l'acc in un sistema K.
a' è l'acc in un sistema K'
a(tr) l'acc che K vedrebbe se il corpo fosse rigidamente collegato a K'
w velocità angolare di K' rispetto a K
v' velocità del corpo vista da K'

provo ad applicarla, ma non sò cosa possa uscire fuori. E' la prima volta che provo qualcosa di simile.

K è il sistema non inerziale, vale a dire l'astronauta semplificato come un punto sul bordo del cilindro.

K' è il sistema inerziale, le stelle fisse per pensare alla Newton.

a' = 0 dato che in quel SR non ci sono forze

a(tr) = w^2 * r --> il senso è centrifugo. Infatti se le stelle fisse vedono una acc centripeta, il sistema non inerziale deve vedere una acc uguale ed opposta. Questo vettore è costante in modulo ma non in direzione, anche se in effetti punta sempre verso K, ovverosia l'astronauta.

2*w ^ v' = 2*w*v'sen(90°)=2*w*v' --> le "stelle fisse" vedono una velocità costante equivalente a quello che il corpo aveva prima di abbandonare la montagna. Questo vettore è costante in verso e direzione, anche se mettendoci dal punto di vista dell'astronauta è costanta solo in modulo.

Quindi l'accelerazione in K è somma di due vettori di cui almeno uno non costante e quindi non è costante nel tempo in particolare supponiamo che K sia all'istante t=0 in cui l'acqua cade proprio sotto la montagna. Girerà di un angolo D(a)=w*Dt...

Facendo la somma vettoriale si trova con carnot che K vede una acc dipendente dal tempo sia come modulo che come direzione...

Inoltre andando per componenti dopo un angolo alfa K vede una accelerazione verticale ed orizzontale pari a:

acc_vert= -2wv*cos(wt)+w^2*r

acc_oriz = 2wvsen(wt)

interpretazione dei risultati che presumibilmente si avranno dopo integrazione per trovare la funzione spazio: K' vedrà l'acqua andare a destra ed a sinistra, mentre le velocità con la quale questa scende continuerà ad aumentare ma non in modo regolare... forse in un SR adatto la traiettori viene una circonferenza, tipo l'es di Shoma85 di tempo fà.. naturalmente questo finchè non và a sbattere ancora contro il muro...

ha senso?

Huxeley
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Messaggio da Huxeley » 06 apr 2005, 08:20

Da come è posto il problema il monte potrebbe essere esterno. In tal caso non avverrebbe nulla di quanto dici. L'astronave ruota e viaggia e gli astronauti osservano cosa avviene sulla terra.

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Messaggio da Marco » 06 apr 2005, 09:29

Rispondo a Info con una risposta da matematico. A occhio, direi che la traiettoria è un'arco di [epi | ipo]-cicloide. La traiettoria può essere molto complicata. Non nel caso "ovvio" in cui immaginiamo l'angolo di spostamento della nave piccolo durante la caduta dell'acqua. Ma se l'acqua cadesse da molto in "alto" (i.e. molto vicino all'asse della nave), la nave stessa potrebbe fare molti giri prima della caduta dell'acqua. Quindi non penso che il problema si liquidi in quattro, quattr'otto e due dieci.

Rispondo a Mark: non sono d'accordo quando dici che l'acqua accelera radialmente. Perché? Quali forze agiscono sull'acqua in caduta?

mark86
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Messaggio da mark86 » 06 apr 2005, 18:32

ora che ci penso dovrebbe proseguire per la tangente di moto rettilineo uniforme...
c'è qualcosa di strano... una pallina in una roulotte se messa nella parte interna finisce ai bordi di essa; non si può parlare di forza centrifuga? (come forza apparente?) .... eureka... datemi un po' di tempo e vi posto la soluzione (a quanto pare è meglio non utilizzare il sistema di riferimento dell'astronave). Vi faccio sapere

mark86
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Messaggio da mark86 » 06 apr 2005, 19:17

Supponiamo che all’istante t = 0 dell’acqua “cada” liberamente dalla sommità del monte; osserviamo il cilindro in sezione in modo da vedere una circonferenza;(attenzione: osserviamo il fenomeno non dall’interno del cilindro ma dall’esterno); per inerzia l’acqua si muoverà di moto rettilineo uniforme e intersecherà la circonferenza (cioè toccherà il suolo dopo un certo tempo t dopo aver percorso uno spazio s); sappiamo che s = v * t ma s = sqrt(2 * R * h – h^2) – questo risultato si ottiene studiando il triangolo rettangolo che ha per vertici il centro della circonferenza, il punto di partenza e il punto di arrivo dell’acqua (non dimenticate che si parla infatti della tangente alla circonferenza su cui si muoveva l’acqua che è quindi perpendicolare) - .
Sappiamo poi che v = w * R (dove w è la velocità angolare) quindi combinando le equazioni otteniamo
t = sqrt(2 * R * h – h^2) / (w * (R – h)). Frattanto la base della montagna ha descritto un arco
s’ = w * t ; sostituendo t otteniamo che nel momento in cui l’acqua tocca il suolo la base della montagna si è spostata di un arco s’ = sqrt(2 * R * h – h^2) / (R – h). Il punto in cui l’acqua tocca il suolo non è necessariamente la base della montagna; bisogna adesso capire che relazione intercorre fra essi… questo nella prossima puntata (ho veramente poco tempo);
Spero che quello che ho scritto sia corretto, fatemi sapere che ne pensate!!!!

p.s. scusate ma con Latex non ho ancora molta familiarità (ma a quanto pare nel forum di fisica non lo usa quasi nessuno)

mark86
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Messaggio da mark86 » 07 apr 2005, 14:45

Una correzione: s' è l'angolo che descrive la base della montagna nel tempo t di caduta dell'acqua. Per ottenere l'arco è sufficiente moltiplicare per R

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