Cono nell'acqua

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bh3u4m
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Cono nell'acqua

Messaggio da bh3u4m »

Questo era già stato proposto tempo fa, ma non essendo state pubblicate risposte lo ripropongo:

E' dato un cono immerso nell'acqua con la punta verso il basso (nell'acqua), il cono è per metà immerso nell'acqua.
Il sistema è instabile, il cono comincia a muoversi.
Descrivere spazio percorso, velocità, accelerazione del suo centro di massa in funzione del tempo.

Il cono ha un'altezza h, la base è una circonferenza di raggio R, nella posizione di partenza l'altezza della parte immersa nell'acqua è l dove l < h.
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bh3u4m
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Messaggio da bh3u4m »

Visto che si tratta di un palloso problema di analisi, lo rendo più bello...
1) Trovare la velocità con cui il cono sta ruotando quando il suo lato è appena stato completamente bagnato dall'acqua.
2) Se per qualche evento miracoloso non dovesse iniziare a perdere la sua posizione di equilibrio iniziale, descrivere il moto verticale del cono che causerebbe una forza F applicata dall'alto verso il basso per un periodo di tempo t, ossia, immergendo il cono un po' nell'acqua in modo da fornirgli un'energia potenziale archimedea U.
Ultima modifica di bh3u4m il 13 mar 2005, 11:29, modificato 1 volta in totale.
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Hola, bh3u4m,
il quesito della sfera era carino ed anche abb facile, questo invece mi pare ben più complicato, ma forse mi sfugge qualcosa. Per ora:

F=m*a [1]

riferita al centro di massa ci dice che il CM compie una traiettoria che giace su una retta verticale, e forze sono 2: la forza peso e quella archimedea.

Purtroppo la forza archimedea dipende dalla parte immersa e quindi siamo obbligati a studiare il movimento del cono come corpo rigido.

La forza peso è applicata nel baricentro del cono (che se non ho sbagliato i conti è a 3/4 dell'altezza). La forza di archimede è applicata nel baricentro dell'acqua spostata (molto più problematico da trovare, anche se non impossibile). Ora da una qualsiasi posizione si trova quella succesiva dopo un tempo dt in questo modo: si trasla il cono seguendo il movimento del CM che funzia secondo la [1]; si applica il momento originato secondo la formula T=I*(theta), cioè la versione angolare della [1], e si ruota il cono dell'angolo relativo a quel dt. Quindi ci servirebbe trovare anche il momento di inerzia del cono rispetto ad un'asse parallelo alla base e passante per il CM. Forse utilizzando Steiner, dividendo il cono in fettine circolari (di cui sappiamo il momento come formula standard) ed integrando si semplificano i calcoli, ma non sò....

Insomma. Il procedimento è assurdamente complicato...Mi sfugge qualcosa, ripeto?
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bh3u4m
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Messaggio da bh3u4m »

Beh, mi paiono considerazioni abbastanza corrette... devo confessare che io stesso ho grosse difficoltà in questo problema..
Io partirei cmq considerando che il volume immerso deve essere costante (trascuro tutte le oscillazioni dovute al movimento e alle onde)... se riesco trovo la posizione del CM della parte immersa in funzione dell'angolo, la posizione del CM del cono intero in funzione sempre dell'angolo, a questo punto ho i 2 centri di massa con le due forze, trovo a seconda delle forze il centro di rotazione (che può essere individuato sul segmento congiungente i CM).
Se si riesce a trovare il centro di rotazione in funzione dell'angolo, si procede un po' come hai detto tu cercando di passare a delle funzioni rispetto al tempo.
Forse ho fatto qualche errore, ma è difficile capirlo...

Piuttosto, qualcuno della Normale non potrebbe darci una mano?

Per la notevole complessità del problema ho deciso di mettere i punti 1) e 2), decisamente più facili...
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devo ammettere che non capisco bene le tue considerazioni...

(1) perchè il volume immerso deve essere costante? Nel tuo quesito numero 2 per esempio il cono viene immerso e poi risale, variando il volume di acqua spostata... Se ho ben capito il testo del problema è uguale al quesito 2 tranne che deve essere considerato che il cono può iniziare a ruotare... Forse è da spiegare l'affermazione "il cono è per metà immerso nell'acqua"? Cmq anche se all'inizio il cono fosse in equilibrio (forse il testo vuole essere inteso in questo modo) , un istante dopo che ha perso la sua posizione di equilibrio può avere solo ruotato (dato che è F=0) rispetto al CM e quindi il volume spostato si sarà molto presumibilmente modificato (mi stupirei se i calcoli mi dessero torto!).

(2) il centro di rotazione non mi pare un problema da trovare. O il cono è fissato con una corda che ci passa attraverso oppure la rotazione avviene attraverso il centro di massa del cono (posto a 3/4 dell'altezza, sempre che non mi sbagli); devo controllare sulla teoria, ma se così non fosse e l'asse di rotazione fosse diverso, non varrebbe più la relazione F=m*a riferita al CM...
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bh3u4m
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Messaggio da bh3u4m »

1) Il volume immerso è costante nel punto 1... il punto 2 può essere considerato un altro problema...
Infatti la massa del cono è costante, la massa dell'acqua spostata dev'essere uguale alla massa del cono, perciò deve essere anche lei costante (a parte il caso del punto 2), sennò il cono comincia o ad affondare, o peggio ancora a volare.

2) Non sono convinto che il cono ruoti attorno al suo CM, questo mio dubbio deriva dalla considerazione delle 2 forze che agiscono sul cono, una sul centro di massa, l'altra sul CM della parte immersa...
Prendendo le componenti delle forze ortogonali al segmento congiungente i due CM si consta che sono uguali ed opposte, per cui dovrebbero causare una rotazione attorno ad un punto del segmento...
Per prendere un caso più semplice, se considero un'asse a cui è applicata una forza nel CM ed un'altra uguale ed opposta su un estremo dell'asse, l'asse intuitivamente comincerà a ruotare attorno ad un asse passante per un punto del segmento che congiunge il CM con l'estremo... non so però dove si trovi... non ritengo neanche probabile che sia il punto medio in quanto la forza agente sul centro di massa riscontrerà un'inerzia maggiore (credo, io stesso però sono un po' dubbioso) di quella agente sull'estremo...

Rimanendo molto dubbioso sul mio ragionamento, posto il messaggio.
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1) continuo a non capire. In una condizione simile alla tua SF=0. Il CM se era fermo resterà fermo. Che senso ha allora la domanda del problema?
Cmq non hai risposto alle mie domande sulla pos inziale del cono... Non riesco ad immaginarmi una situazione con il volume dell'acqua spostata costante..

2) Prendi un'asta ed applica una forza distante k dal CM. Come sarà il suo moto (almeno per un istante dt)? A mio parere la somma di una traslazione del CM e di una rotazione rispetto al CM. Si potrebbe per esempio traslare la forza sul CM ed aggiungere la relativa coppia di trasporto: in tal modo risulta più chiaro, ma magari non è chiara l'equivalenza delle due situazioni (anche se forse si piò cercare in un libro di teoria), anzi a pensarci bene forse questo è un ragionamento circolare! In ogni caso, se il corpo ruotasse rispetto ad un'altro punto non varrebbe più F=m*a dato che il CM si deve muovere lungo una traiettoria rettilinea.

Riguardo al tuo esempio immagina una coppia agente su un corpo. Questa provoca una rotazione attorno al CM sempre, qualunque sia la posizione della coppia. Molto poco intuitivo, non ti pare? Del resto, cosa potrebbe spostare il CM [ F(esterne)=m*a(del centro di massa)]?

Ho tirato fuori un pò di esempi non uguali alla questione, ma a mio parere strettamente connessi...
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Messaggio da bh3u4m »

Riguardo al 1: forse non mi sono spiegato bene... intendevo solamente dire che in qualsiasi posizione il cono si trovi, la proporzione fra il volume immerso e il volume totale è costante, poi cmq la parte immersa cambia forma. (A parte nel caso lo si spinga nell'acqua, a questo punto comincerà a muoversi su e giù).

Riguardo al 2: è vero, non ci ho pensato... ho pensato di unificare il moto traslatorio e rotatorio intesi da te in un unico moto rotatorio trovando un punto di rotazione diverso dal baricentro (punto che variava con il trascorrere del tempo ed il conseguente cambiamento di posizione del cono)... ma adesso non credo più che fosse una buona idea in quanto la situazione si complicherebbe parecchio, non avevo proprio pensato ad una composizione dei due moti... :)
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1) Si avevo capito cosa intendi, ma i miei dubbi rimangono. Tu giungi ad affermare che il corpo è sottoposto sempre alla medesima spinta archimedea, giusto? Perlomeno come vettore, poi la forma cambierà solo il punto di applicazione. Dato che le forze sono 2 il peso e la forza di archimede se queste due sono in valore e direzione costante lo è anche la forza complessiva. Il CM si muove come se tutte le forze esterne fossero applicate là. Dà quì si deduce che in una situazione come la tua il CM non può accellerare in alcuna direzione e resterà fermo, essendo le forze esterne sempre pari a 0 come somma vettoriale! E allora non capisco la domanda!

Ma la situazione mi pare irreale: a mio parere il volume spostato cambia...ed il CM si sopsta lungo una retta con un movimento alquanto complicato...oscillando in modo strano...

2) mi pare che ci siamo chiariti...


Cmq dove hai trovato questo problema? Ha una soluzione con calcoli abbordabili che non necessiti di calcolatore?
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Messaggio da bh3u4m »

1) Non l'ho specificato... intendevo che nonostante le forze iniziali fossero in equilibrio, il cono si trovava in una situazione di instabilità (immagina il caso in cui la parte sommersa sia piccolissima), perciò è come se la proiezione del CM cadesse fuori dal piano di appoggio in un solido appoggiato al terreno che di conseguenza cadrebbe, se si valuta l'energia potenziale del cono nei punti in cui è in equilibrio, si trova che la posizione di partenza è un punto di massimo, quindi è instabile.
(A dire la verità non ho riflettuto più di tanto... mi sembrava scontato che non fosse in equilibrio, forse mi sono dimenticato di speicficarlo).
2) Qui sono stato ispirato da un problema comparso alle olimpiadi internazionali, non mi ricordo quali... l'ho cmq modificato.
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1) Rispondimi CHIARAMENTE a questa domanda. Perchè nel tuo modello con volume costante il CM si dorvrebbe muovere? Secondo me nel tuo modello il corpo si limita aruotare attorno al CM...Non lo capisco :cry:

Cmq ho provato a vedere se immaginando un parallelepipedo molto poco denso di base quadrata i calcoli si semplificano (naturalmente se fossi arrivato in fondo avrei tenuto il momento di inerzia come incognita, senza esprimerlo!)...

Ho provato a trovare le posizioni delle forze in funzione: dell'angolo che l'asse forma con l'acqua (scelto come assei x) e dell'altezza (la chiamo y) del CM (la traiettoria del CM si svolge lungo l'asse y).

Essendo il di bassa densità, immagino che almeno nella parte iniziale del moto debba spostare una quantità d'acqua esprimibile come area di un triangolo ABC (nel mio disegno) per una dimensione del parallelepipedo. La forza di archimede nel disegno 2D è applicata nel baricentro del triangolo. Ho trovato quindi le coordinate dei punti A,B,C per iniziare. Ecco i risultati, chiamando l e c rispettivamente la dimensione verticale ed orizzontale del parallelepipedo.

C ( [c*sen(a)-l*cos(a)]/2; y - [c*cos(a)+l*sen(a)]/2 )

B ( [c-2ycos(a)]/2sen(a);0)

A ( [sen(a)cos(a)*(lcos(a)-csen(a)+cos(a)*(2ycos^2(a)-c*cos(a)-2y)-c]/[2sen(a)*cos^2(a)] ; 0)

ok... come sapete i calcoli non sono il mio forte. Non ho ricontrollato e magari ho sbagliato qualcosa, ma i risultati non dovrebbero essere troppo differenti (almeno per i punti B e C). Ora c'è da trovare il baricentro geometrico di quel triangolo e trovare le varie relazioni differenziali (seguirei sempre il proc esposto nel primo msg)...

Non mi pare un problema abbordabile... non con questo procedimento almeno...
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Messaggio da bh3u4m »

Lasciamo stare sti problemi che ormai non ne usciamo più fuori... ne posto altri più interessanti.
Huxeley
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Messaggio da Huxeley »

Permettimi di dire la mia
Non capisco una cosa prima dici che il cono è immerso per metà poi dici che la parte immersa è l. Supponiamo comunque che sia l. L’equilibrio è instabile se il metacentro (baricentro della parte immersa) sta sotto il baricentro. Essendo il peso del cono p=1/3ρπR²hg e il peso dell’acqua spostata p’=1/3ρ’πl²R²/h, con ρ ρ’densità del cono e dell’acqua, l’equilibrio si ha se
ρ = ρ’l²/h². Affinché il metacentro stia sotto il baricentro occorre e basta che ρ< ρ’4/9.
Il cono ruota, perché instabile, intorno al baricentro G
Detto M il metacentro, il braccio della coppia è MGsenα, ilmetacentro cambia posizione ma in ogni istante il peso deve essere uguale alla spinta e poiché il peso è costante il volume della parte immersa deve essere costante. La coppia ruotante ha momento Г=1/3ρπR²hg *MGsenα con α angolo di rotazione dell’asse del cono rispetto alla verticale. Detto I il momento d’inerzia del cono rispetto al punto L si ha Г=Id²α/dt² cioè 1/3ρπR²hg *MGsenα= Id²α/dt². Posto K=[ρπR²hg *MG]/(3I) si ha
d²α/dt²=k α, equazione differenziale di tutto rispetto ma risolubile.
Alla prossima puntata.
Ultima modifica di Huxeley il 31 mar 2005, 19:15, modificato 2 volte in totale.
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Huxeley, mi puo rispondere solo a questo dubbio?, plz.. Io non capisco la situazione! Se il peso è sempre uguale alla spinta archimedea il CM non si può spostare! O no? Per ora contesto questo! (lo sò che faccio la figura del rompiballe, sorry)

ps: ammetto di non avere visto i tuoi calcoli ma ora sono stanco (del resto dovrei rivedere cosa è il metacentro! Cmq la tua equazione differenziale è quella del moto armonico)...
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bh3u4m
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Messaggio da bh3u4m »

Sono un po' stanco anche io, ma mi pare, Huxeley, (se ho capito bene) che non consideri che la parte immersa cambia forma durante la rotazione, di conseguenza il centro di rotazione non è più sul segmento GM... è questo il bello del problema :)
Non credo proprio che il tutto possa essere ridotto ad un banale moto armonica, anzi ho saputo da degli esperti che l'equazione differenziale che ne esce potrebbe persino non essere risolubile, quindi ci si potrà avvicinare al risultato solo mediante approssimazione.
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