E' data una pallina sferica di raggio r su una sfera (più grossa) di raggio R >> r .
Descrivere il moto della pallina, in particolare:
-trovare il punto di distacco
-trovare spazio, velocità ed accelerazione in funzione del tempo prima e dopo il distacco dalla sfera.
Sfere su sfere
Per il punto di distacco, si ragiona in questo modo:
deve esistere una acc centripeta sulla sfera sopra. Questa è data dalla risultante della reazione del "piano" e dall'adatta componente del peso. Solo il peso però è nella direzione giusta. Al limite P=Fc. Mi riferisco sempre al CM della sfera piccola.
Fc=m*v^2 / (R+r)
considerando che il moto è un rotolamento (se vi è abb attrito) e che l'unica forza che compie lavoro è P, si trova m*v^2 con la cons dell'energia e la si sostituisce sopra. Svolti i calcoli, risulta un angolo di stacco pari a ca. 54°...
Ora vogiamo trovare una funzione t.c. alfa=f(t)
Considerando un tempo infinitesimo:
d(alfa)=W*dt
v=W*(R+r)----dove v è la velocità istantanea del CM della sfera piccola
inserendo il valore di v ricavato prima con la cons dell'energia, si ottiene una equazione differenziale di questo tipo:
d(alfa)/rad[1-cos(alfa)]=k*dt
dove k è una costante. Applicando bisezione e le parametriche si riesce ad integrare il primo membro ed a trovare il risultato. Non lo faccio perchè magari ho già sbagliato qualcosa...
Naturalmente tutto questo vale PRIMA del distacco...
deve esistere una acc centripeta sulla sfera sopra. Questa è data dalla risultante della reazione del "piano" e dall'adatta componente del peso. Solo il peso però è nella direzione giusta. Al limite P=Fc. Mi riferisco sempre al CM della sfera piccola.
Fc=m*v^2 / (R+r)
considerando che il moto è un rotolamento (se vi è abb attrito) e che l'unica forza che compie lavoro è P, si trova m*v^2 con la cons dell'energia e la si sostituisce sopra. Svolti i calcoli, risulta un angolo di stacco pari a ca. 54°...
Ora vogiamo trovare una funzione t.c. alfa=f(t)
Considerando un tempo infinitesimo:
d(alfa)=W*dt
v=W*(R+r)----dove v è la velocità istantanea del CM della sfera piccola
inserendo il valore di v ricavato prima con la cons dell'energia, si ottiene una equazione differenziale di questo tipo:
d(alfa)/rad[1-cos(alfa)]=k*dt
dove k è una costante. Applicando bisezione e le parametriche si riesce ad integrare il primo membro ed a trovare il risultato. Non lo faccio perchè magari ho già sbagliato qualcosa...
Naturalmente tutto questo vale PRIMA del distacco...
Ok, con l'angolo ci siamo... 53,96° circa...
La tua costante k dovrebbe essere
$ \sqrt { \frac {10 g} {7 R} } $
Avvisami se mi sbaglio...
Volevo proporre invece della sfera grande un corpo la cui sezione formata da un piano perpendicolare al terreno passante per il punto di massimo (dove c'è la sfera piccola alla partenza) fosse un ellisse di altezza 2a e larghezza 2b... sarebbe diventato però una lunga serie di conti che avrebbe tolto originalità al problema.
E' curioso notare che se il corpo non rotolasse, otterrei come angoli di distacco 0° e 90°, a significare che è proprio la rotazione a rendere possibile questo effetto sottraendo parte dell'energia cinetica di movimento e trasformandola in energia di rotazione.
La tua costante k dovrebbe essere
$ \sqrt { \frac {10 g} {7 R} } $
Avvisami se mi sbaglio...
Volevo proporre invece della sfera grande un corpo la cui sezione formata da un piano perpendicolare al terreno passante per il punto di massimo (dove c'è la sfera piccola alla partenza) fosse un ellisse di altezza 2a e larghezza 2b... sarebbe diventato però una lunga serie di conti che avrebbe tolto originalità al problema.
E' curioso notare che se il corpo non rotolasse, otterrei come angoli di distacco 0° e 90°, a significare che è proprio la rotazione a rendere possibile questo effetto sottraendo parte dell'energia cinetica di movimento e trasformandola in energia di rotazione.