Per comodità mia userò
$ \displaystyle x = $ volume
$ \displaystyle y = $ pressione
e il punto $ \displaystyle (x_0, y_0) $ è il punto che cerchiamo.
Cominciamo... scriviamo le equazioni delle due funzioni (retta e adiabatica):
(1) $ \displaystyle f: \;\; y =mx + q $
(2) $ \displaystyle \phi: \;\; y =kx^{-\gamma} $
Le due funzioni devono essere tangenti nel punto:
$ \displaystyle {df \over dx}(x_0) = {d\phi \over dx}(x_0) $
$ \displaystyle \Rightarrow \;\; m = - \gamma \cdot k \cdot x_0^{-(\gamma + 1)} $
da cui segue:
(3) $ \displaystyle - \gamma k = m x_0^{\gamma +1} $
Inoltre le due funzioni devono passare per il punto. Quindi:
$ \displaystyle mx_0 + q = kx_0^{- \gamma} $
Moltiplichiamo entrambi i membri per $ \displaystyle x_0^{\gamma} $:
(4) $ \displaystyle m \cdot x_0^{\gamma + 1} + q \cdot x_0^{\gamma} = k $
Ma la (3) ci dà un'espressione per $ \displaystyle mx_0^{\gamma + 1} $. Quindi possiamo riscrivere la (4) nella forma:
(5) $ \displaystyle -\gamma + {q \over k} \cdot x_0^{\gamma} = 1 $
da cui otteniamo:
(6) $ \displaystyle x_0^{\gamma} = {k \over q} (1 + \gamma) $
Mettiamo ora insieme la (6) e la (3):
(7) $ \displaystyle -\gamma k = m {k \over q}(1 + \gamma) \cdot x_0 $
Da cui facilmente
$ \displaystyle x_0 = {-\gamma q \over m(\gamma + 1)} $