Considerate l'atmosfera terrestre di densità uniforme e schematizzate pure il campo gravitazionale terrestre come uniforme.
Prendete una mongolfiera il cui pallone sia a chiusura ermetica e in materiale perfettamente isolante, scaldate dell'aria e ficcatecela dentro; caricate la mongolfiera con un peso di massa m e mollate le cime. Salite fino ad una certa altezza che più vi aggrada e lasciate cadere il peso, quindi fate scendere la mongolfiera; a terra avete posizionato un aggeggio che vi permette di trasformare l'energia cinetica del peso cadente in energia per riscaldare l'aria e energia elettrica che immagazzinate. In questo modo "ricaricate" la mongolfiera (ormai atterrata) con la stessa aria calda di prima, salite alla stessa altezza (o a una maggiore) e lasciate cadere ancora il peso, e così via.
Ad ogni passaggio guadagnate energia, permettendo inoltre al ciclo così ottenuto di protrarsi indeterminatamente.
Dove sta il problema ?
Le mongolfiere producono energia
Dove va a finire l'energia termica dell'aria, "buttata via" per far tornare a scendere il pallone 
Credo sia il noto problema delle macchine termiche, che per produrre lavoro meccanico devono comunque trasferire un po' di calore alla sorgente fredda (qui l'atmosfera), altrimenti non si può avere una macchina ciclica.
Credo sia il noto problema delle macchine termiche, che per produrre lavoro meccanico devono comunque trasferire un po' di calore alla sorgente fredda (qui l'atmosfera), altrimenti non si può avere una macchina ciclica.
Il calore va a finire ovviamente nel riscaldamento dell'aria, che però è assai piccolo in quanto il rapporto tra la massa d'aria nella mongolfiera e la massa d'aria dell'atmosfera è irrisorio. Inoltre, possiamo supporre che l'energia necessaria per riscaldare l'aria da T a T' sia indipendente da T e dipenda solo da T'-T; quindi l'energia che serve per riscaldare l'aria nella mongolfiera al suolo è sempre quella (voglio creare una differenza di densità e quindi di temperature prefissata, non mi curo della temperatura di partenza).
Da notare che queste approssimazioni sono giustificabilissime, in quanto dopo svariate centinaia di ripetizioni la temperatura globale dell'atmosfera sarà salita forse di un grado centigrado, o forse di meno.
Inoltre, sarebbe problematico far anche un solo ciclo : si otterrebbe energia apparentemente gratis.
Il problema non è dove va a finire l'energia che ci metti, ma da dove arriva quella in più che ricavi.
Da notare che queste approssimazioni sono giustificabilissime, in quanto dopo svariate centinaia di ripetizioni la temperatura globale dell'atmosfera sarà salita forse di un grado centigrado, o forse di meno.
Inoltre, sarebbe problematico far anche un solo ciclo : si otterrebbe energia apparentemente gratis.
Il problema non è dove va a finire l'energia che ci metti, ma da dove arriva quella in più che ricavi.
dunque...
1) la quantità di calore e la capacità termica non sono a rigore confrontabili
2) l'energia per "fare" la nuova mongolfiera la ricavo dall'energia cinetica della massa che giunge al suolo, non la recupero dall'aria...il problema è che alla fine sembro produrre più energia di quella che impiego
@marco : e quindi?
1) la quantità di calore e la capacità termica non sono a rigore confrontabili
2) l'energia per "fare" la nuova mongolfiera la ricavo dall'energia cinetica della massa che giunge al suolo, non la recupero dall'aria...il problema è che alla fine sembro produrre più energia di quella che impiego
@marco : e quindi?
Bisogna considerare:
1) scaldando la mongolfiera il suo volume aumenta (supponendo la pressione costante), quindi si compie lavoro contro la pressione esterna
2) quando la mongolfiera si alza, invece il lavoro è fatto dall'atmosfera, (ma non mi è venuto in mente in che modo, comunque c'entra il fatto che una massa maggiore di aria (fredda) scende, mentre sale della stessa distanza una massa minore: mongolfiera calda + peso).
3) salendo (molto lentamente), la pressione diminuisce e la mongolfiera si gonfia, ma nel fare questa trasformazione (adiabatica?) la temperatura dell'aria dentro la mongolfiera si abbassa. (si compie lavoro sull'atmosfera).
4) quando si vuole far scendere di nuovo il pallone, bisogna in qualche modo rendere la densità totale della mongolfiera minore di quella dell'aria esterna, facendo diminuire il volume a pressione costante: l'atmosfera compie lavoro sulla mongolfiera, la cui temperatura cala ulteriormente.
5) durante la discesa (molto lenta) si ha un'altra adiabatica, ma qui la temperatura aumenta e il volume diminuisce. (l'atmosfera compie lavoro)
(si considerano le pareti della mongolfiera isolanti)
Mi appare in primissima approssimazione un ciclo di 2 isocore e 2 adiabatiche.
Per il momento non so più come andare avanti...
1) scaldando la mongolfiera il suo volume aumenta (supponendo la pressione costante), quindi si compie lavoro contro la pressione esterna
2) quando la mongolfiera si alza, invece il lavoro è fatto dall'atmosfera, (ma non mi è venuto in mente in che modo, comunque c'entra il fatto che una massa maggiore di aria (fredda) scende, mentre sale della stessa distanza una massa minore: mongolfiera calda + peso).
3) salendo (molto lentamente), la pressione diminuisce e la mongolfiera si gonfia, ma nel fare questa trasformazione (adiabatica?) la temperatura dell'aria dentro la mongolfiera si abbassa. (si compie lavoro sull'atmosfera).
4) quando si vuole far scendere di nuovo il pallone, bisogna in qualche modo rendere la densità totale della mongolfiera minore di quella dell'aria esterna, facendo diminuire il volume a pressione costante: l'atmosfera compie lavoro sulla mongolfiera, la cui temperatura cala ulteriormente.
5) durante la discesa (molto lenta) si ha un'altra adiabatica, ma qui la temperatura aumenta e il volume diminuisce. (l'atmosfera compie lavoro)
(si considerano le pareti della mongolfiera isolanti)
Mi appare in primissima approssimazione un ciclo di 2 isocore e 2 adiabatiche.
Per il momento non so più come andare avanti...
andrea attento, evariste parla di "densità dell'atmosfera costante"...
quindi di un rapporto n/V costante (moli/volume). Da qui si deduce ovviamente che se si parla di un fluido comprimibile (come l'aria e tutti i gas in condizioni standard) la pressione è costante in ogni punto, ammettendo che la temperatura sia costante ovviamente.
(ovviamente contradditemi se ho interpretato male il testo)
ora penso anch'io al problema
quindi di un rapporto n/V costante (moli/volume). Da qui si deduce ovviamente che se si parla di un fluido comprimibile (come l'aria e tutti i gas in condizioni standard) la pressione è costante in ogni punto, ammettendo che la temperatura sia costante ovviamente.
(ovviamente contradditemi se ho interpretato male il testo)
ora penso anch'io al problema
Eh, no!AleX_ZeTa ha scritto:andrea attento, evariste parla di "densità dell'atmosfera costante"...
quindi di un rapporto n/V costante (moli/volume). Da qui si deduce ovviamente che se si parla di un fluido comprimibile (come l'aria e tutti i gas in condizioni standard) la pressione è costante in ogni punto, ammettendo che la temperatura sia costante ovviamente.
si sa che la pressione è data da p=dgh (d densità), qui è costante d, ma varia h...
Ultima modifica di aursic il 01 mar 2005, 23:36, modificato 2 volte in totale.
eh no! :p
Evariste "propone" un'approssimazione: consideriamo costante la densità dell'aria.
Quindi abbiamo n/V costante. Ora considera T costante: PV = nRT... quindi P costante
è evidente che si tratta di approssimazione, ma se ci pensi non è poi così assurda... pensa ad altezze relativamente piccole: lì noti una significativa differenza di pressione?
comunque mi sembra che la questione sia abbastanza irrilevante: non credo che il problema cambi molto se consideri costante o meno la pressione - densità... diciamo che se lo fai ti eviti un po' di conti fastidiosi.
Poi magari mi sbaglio clamorosamente... ma prova a fare il bilancio energetico con P variabile e vedi se ti torna. Poi fallo con P costante (come ho fatto io) e vedi che torna.
EDIT: lol non avevo letto!!!!!! sei un grande :p
quando smetto di ridere riprendo il problema
Evariste "propone" un'approssimazione: consideriamo costante la densità dell'aria.
Quindi abbiamo n/V costante. Ora considera T costante: PV = nRT... quindi P costante
è evidente che si tratta di approssimazione, ma se ci pensi non è poi così assurda... pensa ad altezze relativamente piccole: lì noti una significativa differenza di pressione?
comunque mi sembra che la questione sia abbastanza irrilevante: non credo che il problema cambi molto se consideri costante o meno la pressione - densità... diciamo che se lo fai ti eviti un po' di conti fastidiosi.
Poi magari mi sbaglio clamorosamente... ma prova a fare il bilancio energetico con P variabile e vedi se ti torna. Poi fallo con P costante (come ho fatto io) e vedi che torna.
EDIT: lol non avevo letto!!!!!! sei un grande :p
quando smetto di ridere riprendo il problema
Dunque, da qualche conto sembrerebbe che ad ogni ciclo, stranamente, il sistema della mongolfiera sottrae energia (*) all'atmosfera, esattamente quanto serve per alzare la massa...
Il fatto è che (*) è energia gravitazionale: quando la mongolfiera sale dell'aria scende, e viceversa... ma non le la so spiegare: l'atmosfera non può "abbassarsi"...
Il fatto è che (*) è energia gravitazionale: quando la mongolfiera sale dell'aria scende, e viceversa... ma non le la so spiegare: l'atmosfera non può "abbassarsi"...
* This message was transmitted on 100% recycled electrons.
è quello che ti dicevo prima... se tu fai salire una cosa di volume V sposterai (in basso!) una quantità d'aria di identico volume V... e ovviamente la differenza di altezza è comune. In pratica la mongolfiera va ad occupare lo spazio dove prima c'era l'aria e la spinge verso il basso. Pensa ad una bacinella d'acqua e un palloncino...
se fai i conti con le energie tornano perfettamente (pensa alla forza di Archimede come ad un campo di forze uniforme)
se fai i conti con le energie tornano perfettamente (pensa alla forza di Archimede come ad un campo di forze uniforme)
ok, dimenticatevi tutti i miei post precedenti e vediamo un abbozzo di soluzione.
Per semplificare considero un caso diciamo "particolare" del problema: prendo una mongolfiera a volume costante (in questo modo agirò sulla pressione anziché sulla temperatura). Il ragionamento si ripete identico pensando a volume variabile (e quindi P costante)
Inoltre assumo che l'atmosfera sia gassosa... e approssimo ad un gas perfetto. Considerando un'atmosfera liquida (che visto il problema sarebbe più opportuno) si ottengono gli stessi risultati, ma i conti sono un po' più complicati (dovrei calcolare il lavoro per fare un vuoto parziale all'interno della mongolfiera... e poi trattare liquidi è sempre più brutto che trattare gas)
Ora i dati: chiamiamo
$ \rho_0 $ la densità dell'atmosfera
$ P_0 $ la pressione ad altezza 0, quindi al suolo
$ T_0 $ la temperatura al suolo
$ V $ il volume della mongolfiera (costante!)
$ \alpha $ la massa molare dell'aria
$ M $ la massa del peso
Cominciamo a fare qualche considerazione:
visto che si assume la densità costante, e direi che la pressione al suolo è "finita" (cioè non infinita) per Stevino l'atmosfera ha un'altezza finita $ H $
Consideriamo ora il caso iniziale: ho la mia bella mongolfiera ad altezza 0 riempita di aria a temperatura $ T_0 $ e densità $ \rho_0 $.
Ora devo fare in modo che si alzi: quindi devo portare la densità interna ad un valore $ \rho $ tale che la mongolfiera si alzi. Per "comodità" assumo costante la temperatura (tanto energeticamente non cambia nulla: dipende solo dal prodotto $ nT $ che è lineare con la pressione).
Per Archimede si ottiene evidentemente:
(1) $ \displaymath \rho_0 Vg = \rho V g + Mg \; \Rightarrow \; \rho = \rho_0 - {M\over V} $
Vediamo ora come varia l'energia interna:
(2) $ \displaymath \Delta U = C_v n T = {{C_v V} \over R} \cdot (P - P_0) $
Applichiamo l'eq. di stato dei gas perfetti:
(3) $ \displaymath PV = nRT \; \Rightarrow \; \rho = {{\alpha P} \over {RT}} $
Combiniamo la (1) e la (3) e otteniamo:
(4) $ \displaymath P - P_0 = - {{MRT_0} \over {\alpha V}} $
Ora combiniamo la (2) e la (4) :
(5) $ \displaymath \Delta U = {{C_v V} \over R} \cdot \left(-{{M P_0} \over {\rho_0 V}}\right) $
Applichiamo Stevino:
(6) $ \displaymath P_0 = \rho_0 g H $
Ora dalla (5) e dalla (6) otteniamo:
(7) $ \Delta U = - {{C_v} \over R} \cdot MgH $
Supponiamo di lasciare il peso dalla massima altezza possibile: $ H $
Questo avrà quindi un'energia massima $ E_P = MgH $... trascuriamo l'attrito che tanto non cambia nulla.
Ora se vogliamo che la mongolfiera risalga dobbiamo compiere sulla mongolfiera un lavoro pari a $ |\Delta U| $ (se la mongolfiera è scesa senza il peso attaccato la densità interna è almeno $ \rho_0 $. Per portarla a $ \rho_0 $ non compiremo ovviamente nessun lavoro visto che ci va spontaneamente. Dobbiamo invece compierlo per abbassarla ulteriormente...)
Ma questo è evidentemente impossibile! Disponiamo di un energia massima $ MgH $ mentre ce ne serve $ {C_v \over R} MgH $
ed è noto che $ C_v > {f \over 2}R $ con $ f \in \mathbb{N}, \; f \geq 3 $
quindi dovremmo disporre di ALMENO (nell'ipotesi di un gas monoatomico) $ {3 \over 2} MgH $
forse c'è qualche dettaglio da sistemare... ma mi pare che in fondo funzioni. Come già detto se consideriamo altre situazioni il ragionamento è identico... semplicemente sono conti un po' diversi.
Spero vada bene... grazie anche a aursic che oltre ad aver sopportato per un'ora abbondante le mie divagazioni di ieri sera mi ha anche riportato sulla "retta via"...
Per semplificare considero un caso diciamo "particolare" del problema: prendo una mongolfiera a volume costante (in questo modo agirò sulla pressione anziché sulla temperatura). Il ragionamento si ripete identico pensando a volume variabile (e quindi P costante)
Inoltre assumo che l'atmosfera sia gassosa... e approssimo ad un gas perfetto. Considerando un'atmosfera liquida (che visto il problema sarebbe più opportuno) si ottengono gli stessi risultati, ma i conti sono un po' più complicati (dovrei calcolare il lavoro per fare un vuoto parziale all'interno della mongolfiera... e poi trattare liquidi è sempre più brutto che trattare gas)
Ora i dati: chiamiamo
$ \rho_0 $ la densità dell'atmosfera
$ P_0 $ la pressione ad altezza 0, quindi al suolo
$ T_0 $ la temperatura al suolo
$ V $ il volume della mongolfiera (costante!)
$ \alpha $ la massa molare dell'aria
$ M $ la massa del peso
Cominciamo a fare qualche considerazione:
visto che si assume la densità costante, e direi che la pressione al suolo è "finita" (cioè non infinita) per Stevino l'atmosfera ha un'altezza finita $ H $
Consideriamo ora il caso iniziale: ho la mia bella mongolfiera ad altezza 0 riempita di aria a temperatura $ T_0 $ e densità $ \rho_0 $.
Ora devo fare in modo che si alzi: quindi devo portare la densità interna ad un valore $ \rho $ tale che la mongolfiera si alzi. Per "comodità" assumo costante la temperatura (tanto energeticamente non cambia nulla: dipende solo dal prodotto $ nT $ che è lineare con la pressione).
Per Archimede si ottiene evidentemente:
(1) $ \displaymath \rho_0 Vg = \rho V g + Mg \; \Rightarrow \; \rho = \rho_0 - {M\over V} $
Vediamo ora come varia l'energia interna:
(2) $ \displaymath \Delta U = C_v n T = {{C_v V} \over R} \cdot (P - P_0) $
Applichiamo l'eq. di stato dei gas perfetti:
(3) $ \displaymath PV = nRT \; \Rightarrow \; \rho = {{\alpha P} \over {RT}} $
Combiniamo la (1) e la (3) e otteniamo:
(4) $ \displaymath P - P_0 = - {{MRT_0} \over {\alpha V}} $
Ora combiniamo la (2) e la (4) :
(5) $ \displaymath \Delta U = {{C_v V} \over R} \cdot \left(-{{M P_0} \over {\rho_0 V}}\right) $
Applichiamo Stevino:
(6) $ \displaymath P_0 = \rho_0 g H $
Ora dalla (5) e dalla (6) otteniamo:
(7) $ \Delta U = - {{C_v} \over R} \cdot MgH $
Supponiamo di lasciare il peso dalla massima altezza possibile: $ H $
Questo avrà quindi un'energia massima $ E_P = MgH $... trascuriamo l'attrito che tanto non cambia nulla.
Ora se vogliamo che la mongolfiera risalga dobbiamo compiere sulla mongolfiera un lavoro pari a $ |\Delta U| $ (se la mongolfiera è scesa senza il peso attaccato la densità interna è almeno $ \rho_0 $. Per portarla a $ \rho_0 $ non compiremo ovviamente nessun lavoro visto che ci va spontaneamente. Dobbiamo invece compierlo per abbassarla ulteriormente...)
Ma questo è evidentemente impossibile! Disponiamo di un energia massima $ MgH $ mentre ce ne serve $ {C_v \over R} MgH $
ed è noto che $ C_v > {f \over 2}R $ con $ f \in \mathbb{N}, \; f \geq 3 $
quindi dovremmo disporre di ALMENO (nell'ipotesi di un gas monoatomico) $ {3 \over 2} MgH $
forse c'è qualche dettaglio da sistemare... ma mi pare che in fondo funzioni. Come già detto se consideriamo altre situazioni il ragionamento è identico... semplicemente sono conti un po' diversi.
Spero vada bene... grazie anche a aursic che oltre ad aver sopportato per un'ora abbondante le mie divagazioni di ieri sera mi ha anche riportato sulla "retta via"...
Solo una cosa : non serve la termodinamica per arrivare in fondo al problema.
Basta che consideriate qual è l'informazione essenziale che nel testo non viene ovviamente detta esplicitamente ... voglio dire : la soluzione di Alex esclude il caso di altezza infinita (giustamente) e poi tratta quello di altezza finita. Nel fare ciò c'è un'osservazione essenziale, il resto è in più.
Notate inoltre che il testo diceva di poter produrre energia, mentre i contazzi negano addirittura che si possa "ricaricare" la mongolfiera, quindi beh il caro Alex si è spinto un po' oltre.
Insomma, c'è una soluzione "idrostatica".
Basta che consideriate qual è l'informazione essenziale che nel testo non viene ovviamente detta esplicitamente ... voglio dire : la soluzione di Alex esclude il caso di altezza infinita (giustamente) e poi tratta quello di altezza finita. Nel fare ciò c'è un'osservazione essenziale, il resto è in più.
Notate inoltre che il testo diceva di poter produrre energia, mentre i contazzi negano addirittura che si possa "ricaricare" la mongolfiera, quindi beh il caro Alex si è spinto un po' oltre.
Insomma, c'è una soluzione "idrostatica".
ma è più bella la termodinamica!!!
cmq visto che mi ha fatto un po' penare ho preferito portare in fondo questi "contazzi"
dopo penso con calma alla soluzione idrostatica... prima però devo risolverne un altro di termodinamica (che poi credo apparirà qui... questa volta meno "geometria", così sei contento :p)
cmq visto che mi ha fatto un po' penare ho preferito portare in fondo questi "contazzi"
dopo penso con calma alla soluzione idrostatica... prima però devo risolverne un altro di termodinamica (che poi credo apparirà qui... questa volta meno "geometria", così sei contento :p)