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Accelerazione di Coriolis

Inviato: 30 ago 2016, 15:56
da dduss
Ragà, buongiorno. Ho un problema con la derivazione dell'accelerazione di Coriolis: detto un sistema di riferimento inerziale con origine in un sistema di riferimento non inerziale la cui origine sia descritta, in , dal vettore , si ha chiaramente dove è il vettore posizione di un qualunque punto del piano, nel riferimento , e il vettore posizione dello stesso punto, nel riferimento . Naturalmente, tutti e tre i vettori sono funzioni del tempo, ma l'uguaglianza vale in ogni istante, dunque continua a valere se prendiamo le derivate membro a membro, ottenendo dove i vettori sono, rispettivamente, la velocità di in , la velocità di in e la velocità di in . Continuando a derivare con chiaro significato dei simboli; al secondo membro, però, manca un termine , dove è la velocità angolare di rispetto al polo (oppure la velocità angolare con cui ruota su sè stesso?). Come ne vengo fuori? Non ho proprio idea di come salti fuori quella roba...

Re: Accelerazione di Coriolis

Inviato: 30 ago 2016, 20:40
da Lasker
Allora, secondo me il modo più chiaro è esplicitare bene tutti i sistemi di riferimento e fare tutti i conticini in coordinate privilegiando il sistema inerziale (personale opinione, si capisce tutto meglio nei sistemi inerziali :mrgreen: ). Tipo $I$ è un sistema di riferimento fisso con i tre assi lungo $\hat{x},\hat{y}, \hat{z}$, mentre $N$ si muove male e gli assi sono lungo $\hat{x_1},\hat{y_1}, \hat{z_1}$ (che invece ruotano e traslano rispetto al sistema inerziale). Scriviamo la prima relazione sui raggi che hai messo in queste coordinate:
$$x_I\hat{x}+y_I\hat{y}+z_I \hat{z}=(x_S\hat{x}+y_S\hat{y}+z_S\hat{z})+(x_N\hat{x_1}+y_N\hat{y_1}+z_N\hat{z_1})$$
Nota che un vettore può cambiare perché cambiano le sue componenti nel sistema di riferimento (caso facile) o perché il sistema di riferimento si muove (è qui che hai sbagliato secondo me!). Se derivi rispetto al tempo ricordandoti che $\hat{x},\hat{y}, \hat{z}$ sono fissi, ottieni:
$$x_I'\hat{x}+y_I'\hat{y}+z_I' \hat{z}+\underbrace{x_I\hat{x}'+y_I\hat{y}'+z_I \hat{z}'}_{\textrm{è 0 per quello che ho scritto}}=(x_S'\hat{x}+y_S'\hat{y}+z_S'\hat{z}+\underbrace{x_S\hat{x}'+y_S\hat{y}'+z_S\hat{z}'}_{\textrm{è 0 per quello che ho scritto}})+(x_N'\hat{x_1}+y_N'\hat{y_1}+z_N'\hat{z_1}+\underbrace{x_N\hat{x_1}'+y_N\hat{y_1}'+z_N\hat{z_1}'}_{\textrm{non è 0!!}})$$
Quindi l'espressione semplificata viene
$$x_I'\hat{x}+y_I'\hat{y}+z_I' \hat{z}=(x_S'\hat{x}+y_S'\hat{y}+z_S'\hat{z})+(x_N'\hat{x_1}+y_N'\hat{y_1}+z_N'\hat{z_1}+x_N\hat{x_1}'+y_N\hat{y_1}'+z_N\hat{z_1}')$$
Adesso viene in aiuto una formula utile (se hai più voglia di me dimostrala, si usa un sacco in fisica)

Truccone: la derivata rispetto al tempo di un vettore di modulo fissato $\vec{v}$ che ruota con velocità angolare $\vec{\omega}$ è $\vec{\omega}\times \vec{v}$.

Quindi il formulone di prima si scrive come
$$x_I'\hat{x}+y_I'\hat{y}+z_I' \hat{z}=(x_S'\hat{x}+y_S'\hat{y}+z_S'\hat{z})+(x_N'\hat{x_1}+y_N'\hat{y_1}+z_N'\hat{z_1})+\vec{\omega}\times(x_N\hat{x_1}+y_N\hat{y_1}+z_N\hat{z_1})$$
Ovvero come
$$\vec{v_I}=\vec{v_S}+\vec{v_N}+\omega\times \vec{r_N}$$
Che è diversa dalla tua! Adesso ripetendo lo stesso ragionamento derivando un'altra volta si ottiene
$$\vec{a_I}=\vec{a_S}+\vec{a_N}+\vec{\omega}\times \vec{v_N}+\vec{\omega}'\times \vec{r_N}+\vec{\omega}\times \vec{v_N}+\vec{\omega}\times\vec{\omega}\times \vec{r_N}$$
Se raccogli i termini simili puoi interpretare tutte le accelerazioni come dovute a "forze apparenti" nel sistema non inerziale
$$\vec{a_I}=\underbrace{\vec{a_N}}_{\textrm{risultante nel sistema non inerziale}}+\underbrace{\vec{a_S}}_{\textrm{accelerazione tra i due sistemi}}+\underbrace{2\vec{\omega}\times \vec{v_N}}_{\textrm{Coriolis}}+\underbrace{\vec{\omega}'\times \vec{r_N}}_{Azimutale}+\underbrace{\vec{\omega}\times\vec{\omega}\times \vec{r_N}}_{\textrm{Centrifuga}}$$
E boh, circa basta (spero di non aver fatto troppa confusione tra conti e indici).

Re: Accelerazione di Coriolis

Inviato: 30 ago 2016, 21:39
da dduss
Grazie mille, sei stato chiarissimo :D

Re: Accelerazione di Coriolis

Inviato: 31 ago 2016, 09:04
da dduss
Non tenevo conto del fatto che ruota, in , con una velocità angolare aggiuntiva pari a quella di stesso.