Urti e sistemi a massa variabile

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Nadal21
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Urti e sistemi a massa variabile

Messaggio da Nadal21 » 05 apr 2016, 10:51

Qualcuno potrebbe aiutarmi con questo problema? :D

Una scatola è posta su un piatto di una bilancia il cui indice è zero quando la scatola è vuota. Delle particelle vengono fatte cadere dentro la scatola da un'altezza $ h $ dal fondo della scatola alla velocità di $ \mu $ particelle per secondo. Ciascuna particella ha una massa $ m $.
1) Se l'urto tra le particelle e la scatola è completamente anelastico, trovare quanto segna l'indice della bilancia dopo un tempo $ t $ da quando le particelle hanno incominciato a riempire la scatola. Determinare il valore numerico con $ \mu=100 s^-1 $; $ h=1,0 m $; $ m=5 g $ e $ t=10 s $.

2) Se le collisioni tra le particelle e la scatola sono elastiche, cioè le particelle rimbalzano verso l'alto con la stessa velocità, quale sarà la lettura della bilancia? Determinare il valore numerico con $ \mu=32 s^-1 $; $ h=2,7 m $; e $ m=110 g $.

Mi è stata proposta una soluzione che però non mi convince del tutto.

Soluzione proposta
Il valore segnato dalla bilancia è la somma di due contributi. Il primo è quello dovuto al peso dele particelle accumulate all'interno della scatola nell'istante t ovvero:
$ \displaystyle P_1=\frac {dn}{dt}mgt=\mu mgt $ dove $ \displaystyle \mu= \frac {dn}{dt} $
Il secondo contributo è dato dal fatto che la sabbia, cadendo da un' altezza h ha acquisito una certa velocità e, poiché avviene un urto perfettamente anaelastico, le particelle si fermano completamente. Le particelle sono quindi soggette ad una forza diretta verso l'alto e per il III principio della dinamica, la bilancia è soggetta ad una forza equivalente di verso opposto che ha l'effetto di aumentare la lettura della bilancia.
Tale forza vale:
$ \displaystyle P_2=\frac {dp}{dt}=\frac {d\left (mv\right)}{dt}=\frac {dm}{dt}v+ \frac {dv}{dt}m=\frac {dn}{dt}mv=\mu mv $
Il passaggio $ \displaystyle \frac {dm}{dt}v+ \frac {dv}{dt}m=\frac {dn}{dt}mv \quad (1) $ è stato spiegato così:
Contiamo la variazione della quantità di moto l'istante prima che le particelle colpiscano la scatola, considerando $ v $ Una costante. In questo modo puoi dire:
$ \frac {dv}{dt}m=0 $
Invece la massa delle particelle che collidono e si fermano sulla scatola non è una costante ma dipende dal tempo.

La soluzione è convincente, ma c'è un aspetto di cui io non sono convinto ed è l'ultimo passaggio. Infatti, mi pare che non si possa dire che le particelle che colpiscono la scatola hanno una $ v $ costante!
Piuttosto mi pare si possa dire che nella formula $ (1) $ il simbolo $ = $ andrebbe sostituito con $ \approx $ perchè il valore di $ \displaystyle \frac {dv}{dt}m $ è trascurabile a causa del valore piccolo di $ m $.

PER FAVORE, QUALCUNO PUÒ AIUTARMI?

GimmyTomas
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Re: Urti e sistemi a massa variabile

Messaggio da GimmyTomas » 06 apr 2016, 19:38

Il risultato ($\mu mgt+\mu m\sqrt{2gh}$) è giusto, ma la spiegazione, scritta così, mi sembra un po' ambigua.
Di preciso, a quale sistema è applicata $P_2=\text{d}p/\text{d}t$?

wall98
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Re: Urti e sistemi a massa variabile

Messaggio da wall98 » 10 apr 2016, 15:34

Detta $ P2 $ la forza impulsiva media che agisce su una singola particella nell intervallo di tempo dell urto $\Delta t$, essa vale $P2=\frac {\Delta P} {\Delta t} =\frac{mv} {\Delta t} $

Dato che le particelle partono da ferme dalla stessa altezza $h$, arrivate al fondo avranno tutte la stessa velocità $v$.

Dunque la forza totale che agisce sulle $n$ particelle (e quindi sulla bilancia) che atterrano nello stesso intervallo di tempo $\Delta t$ è $nP2=n\frac {\Delta P} {\Delta t} =\frac{nmv} {\Delta t}= \mu mv$

Dov'è il problema?
Il problema non è il problema, il problema sei tu.

MATHia
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Re: Urti e sistemi a massa variabile

Messaggio da MATHia » 10 apr 2016, 16:01

wall98 ha scritto:Dov'è il problema?
Probabilmente non era voluto, però questa innocente domanda, unita alla tua firma, suona un pochino offensiva :D

GimmyTomas
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Re: Urti e sistemi a massa variabile

Messaggio da GimmyTomas » 11 apr 2016, 09:44

Comunque, un altro modo di vederla è questo. Consideriamo il sistema delle particelle che cadono. Allora, il sistema, nel tempo, rimane stazionario, cioè non cambia massa, né modifica la sua quantità di moto. Dunque la somma delle forze che agiscono su di esso è nulla. Quindi, la forza che la bilancia applica sul sistema (che, per il terzo principio, è anche quella che il sistema applica sulla bilancia) è pari al peso del sistema, che, detto t il tempo di caduta di una particella, vale $\mu mg t=\mu mg \sqrt{2h/g}=\mu m\sqrt{2gh}=\mu mv$.

Nadal21
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Re: Urti e sistemi a massa variabile

Messaggio da Nadal21 » 12 apr 2016, 10:16

Grazie! :D

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