Interferometro di Michelson (Normale 2007.3)

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Whov
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Interferometro di Michelson (Normale 2007.3)

Messaggio da Whov » 19 giu 2015, 23:12

(Credito a Desh per aver postato un'immagine fatta molto bene qui, mi interessava riprendere questo problema perché mi blocco al punto 3.. :x intanto potete controllare i primi due punti? Grazie!! )

Un interferometro di Michelson è composto da una sorgente di luce coerente C, da uno specchio semiriflettente R, da due pecchi piani S1, S2, e da uno schermo P, come in figura. La luce, di lunghezza d’onda l = 500nm, si propaga verso lo specchio R, dove si divide in due fasci; il primo percorre la distanza L1 = 1:01m verso lo specchio S2, e il secondo la distanza L2 = :99m verso lo specchio S2. Tornando sullo specchio R, parte dei due fasci si riuniscono e si sovrappongono sullo schermo P, ormando una figura di interferenza circolare. Le distanze CR=L0 e RP=L3 sono ambedue pari a 1m.
(a) A quali distanze dal centro della figura sullo schermo si dispongono i massimi e i minimi di interferenza? Si usi la formula $ cos(\theta) \approx 1-\frac{\theta^2}{2} $ valida per piccoli angoli theta.
(b) Sia d = L1 - L2. Come si muovono i massimi di interferenza variando d? In particolare cosa succede per d << l?
(c) Si vogliono verificare due ipotesi alternative. (1) La velocità della luce c è la stessa in tutti i sistemi di riferimento. (2) La velocità della luce è c nel sistema dell’etere e si compone additivamente nel passaggio ad altri sistemi di riferimento. Assumendo che la Terra si muova rispetto all’etere ad una velocità v = 30km=s nella direzione di L1, si calcoli la differenza ra la posizione del primo e del secondo massimo circolare nelle due ipotesi. Si usino le formule $ \sqrt{1-x} \approx 1-\frac{x}{2} $ e $ \frac{1}{1-x} \approx 1+x $, valide per piccoli x.
Velocità della luce c = 3 * 10^8m=s.

I primi due punti :roll:
Testo nascosto:
Anzitutto definisco bene il modello che userò: abbiamo un laser che emette raggi luminosi sempre alla stessa frequenza, e la loro pendenza è sempre piccola (theta). Per theta=0 il cammino dei due raggi (riflesso e rifratto d'ora in poi) è molto chiaro nell'immagine dell'altro thread. Assumo che 1) Lo specchio non devi sensibilmente il raggio luminoso rifratto (come fosse molto sottile 2) Per ogni theta piccolo il raggio giunge allo specchio nello stesso punto (le distanze del punto di riflessione mi sembrano orridissime da calcolare). Noto inoltre che entrambi i raggi sono sfasati di %pi due volte, quindi questi apporti si annullano completamente.
Distanza del raggio riflesso(theta) = $ \frac{L_0}{cos(\theta)} + \frac{L_2}{cos(\theta)} + \frac{L_2+L_3}{cos(\theta)} = \dfrac{L_0 + 2L_2 + L_3}{cos(\theta)} $
Distanza del raggio rifratto (theta) = $ \frac{L_0+L_1}{cos(\theta)} + \frac{L_1}{cos(\theta)} + \frac{L_3}{cos(\theta)} = \dfrac{L_0 + 2L_1 + L_3}{cos(\theta)} $
Essendo L1>L2 => Rrifratto>Rriflesso (in distanza percorsa).
$ \Delta l = \dfrac{2 * (L1-L2)}{cos(\theta)} $
Quando $ \Delta l $ è multiplo intero di $ \lambda $ si hanno massimi, minimi per $ \lambda * (k+1/2) $
La distanza dal centro della figura è $ L_3 tan(\theta) $, da cui sostituendo in deltaL si ricava la distanza D dei massimi (che sono circonferenze, come specifica il testo).
$ Max(k) = \sqrt{2-\dfrac{4d}{\lambda k}} L_3 $
con d=L1-L2. Variando d (aumentandolo) i massimi si avvicinano (e la figura si fa più confusa). Faccio uno sviluppo con Taylor della funzione $ Max(\mu) = \sqrt{2-\dfrac{4 \mu}{k}} L_3 $ che, nell'intorno di 0, diventa circa $ Max(\mu) = L_3\sqrt{2} - \dfrac{L_3}{k} \sqrt{2} \mu $, per cui i massimi diventano molto (molto (molto)) fitti (precisamente però dove?, nella circonferenza di raggio $ L_3\sqrt{2} $?)
E per il punto 3 mi impallo (anzitutto perché non ho ben capito come sia orientata quella velocità, quindi non so "cosa va verso dove" :evil: , in più sento che nella nuova ipotesi si debba far entrare in gioco il tempo, ma non so come (potrei far finta di avere sempre la velocità c calcolando in proporzione una distanza maggiore/minore quando la velocità effettiva (suona proprio male ma va bé) è maggiore/minore, e poi fare i conti con quella? Barbatrucco estremo? :lol: ) Grazie

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