Disuguaglianza Fisica

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simone256
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Disuguaglianza Fisica

Messaggio da simone256 » 03 apr 2015, 11:43

Questo problema è quasi più di matematica che di fisica, quindi ho la coscienza a posto a postarlo qui:

Si consideri un sistema di $ N $ corpi legato gravitazionalmente, con energia totale $ E \leq 0 $. Si ponga l'origine delle coordinate nel centro di massa del sistema e l'asse $ \hat z $ avente direzione e verso del momento angolare $ \vec L $ del sistema. Sia $ I $ il momento d'inerzia del sistema rispetto all'asse $ \hat z $. Sia $ V $ l'energia potenziale del sistema. Dimostrare che:

$ \displaystyle I V^2 \geq 2 |E| L^2 $

Considerato che manca meno di una settimana ai nazionali di fisica può essere un buon allenamento :P
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo

GimmyTomas
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Re: Disuguaglianza Fisica

Messaggio da GimmyTomas » 03 apr 2015, 17:29

Detta $ K $ l'energia cinetica, sappiamo che $ E=V+K $ e, essendo $ E\leq0 $, $ |E|=-V-K $.
Dunque la tesi diventa $ IV^2\geq-2VL^2-2KL^2\implies IV^2+2L^2V+2KL^2\geq0 $.
Guardandola come una disequazione di secondo grado in $ V $, affinché sia sempre non negativa basta che sia $ \Delta\leq0\implies L^4-2IKL^2\leq0\implies L^2\leq2IK $.
Ora, $ L=\sum mr^2\omega $, $ I=\sum mr^2 $, $ K=\frac{1}{2}\sum mr^2\omega^2 $.
Riscriviamo: $ \left(\sum mr^2\omega\right)^2\leq\left(\sum mr^2\right)\left(\sum mr^2\omega^2\right) $, vera per C-S (woow! :D ) sulle due $ N $-uple $ \sqrt{mr^2} $ e $ \sqrt{mr^2\omega^2} $.
(ho tralasciato indici ecc, ma si capisce lo stesso!)

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simone256
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Re: Disuguaglianza Fisica

Messaggio da simone256 » 04 apr 2015, 12:54

Perfetto tranne per una cosa! Quando esprimi $ K $ come sommatoria tieni conto solo della velocitá tangenziale (quella con $ v=\omega r $) e ti dimentichi della componente radiale. Quindi $ K $ in realtá è maggiore o uguale a quella sommatoria quindi si ha semplicemente una disuguaglianza più larga :wink:
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Re: Disuguaglianza Fisica

Messaggio da GimmyTomas » 04 apr 2015, 17:32

Hai ragione, per qualche motivo ho mentalmente immaginato solo moti circolari. :)
Carina, comunque!

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simone256
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Re: Disuguaglianza Fisica

Messaggio da simone256 » 04 apr 2015, 21:53

Bomber! 8)
Gimmy oro alle IPhO :P
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and then there was light.


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Re: Disuguaglianza Fisica

Messaggio da GimmyTomas » 04 apr 2015, 22:55

simone256 ha scritto:Bomber! 8)
Gimmy oro alle IPhO :P
Sì, certo, tu intanto vedi di non alzare troppo i cutoff a Senigallia. -.-

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Re: Disuguaglianza Fisica

Messaggio da simone256 » 12 apr 2015, 23:31

GimmyTomas ha scritto:
simone256 ha scritto:Bomber! 8)
Gimmy oro alle IPhO :P
Sì, certo, tu intanto vedi di non alzare troppo i cutoff a Senigallia. -.-
Le ultime parole famose...
Ripeto:
Gimmy oro alle IPhO!!!! :lol: :mrgreen:
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Re: Disuguaglianza Fisica

Messaggio da GimmyTomas » 13 apr 2015, 22:45

simone256 ha scritto: Le ultime parole famose...
Ripeto:
Gimmy oro alle IPhO!!!! :lol: :mrgreen:
Sì, invece "Bomba alle IPhO" sembra un attentato...
Btw, li abbiamo alzati entrambi i cutoff! :D

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