Equilibri sui bordi

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simone256
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Equilibri sui bordi

Messaggio da simone256 » 17 ott 2014, 23:51

Nonostante ci sia un bellissimo forum di fisica da popolare ribatto i due problemi precedenti in questa sezione perchè tuttosommato è sensato proseguire questi equilibri con questo problema figo.
Anche qui abbiamo mattoni di lunghezza 2L (ponendo per eventuali stime L=10 cm) e un tavolo molto grosso e resistente su cui appoggiarli.
Se avete un mattone potete scostarvi dal bordo di una lunghezza L;
Se avete 2 mattoni potete scostarvi di una lunghezza 3/2 L;

1) Se aveste 3 mattoni di quanto potreste scostarvi?
2) Di quanto potreste scostarvi con n mattoni?
3) Disponendo di un numero illimitato di mattoni di quanto potreste scostarvi al massimo?
4) Facciamo una stima scrausa di quanti mattoni servirebbero per fare il giro del mondo (considerando nullo lo spessore dei mattoni)?

P.s. su un mattone si può appoggiare al massimo un mattone
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fph
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Re: Equilibri sui bordi

Messaggio da fph » 18 ott 2014, 10:05

Dobbiamo considerare il mondo piatto ma con un "giro" di $4\times 10^7\,m$? Se dissenti, come da buona tradizione, verrai bruciato sul rogo.
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simone256
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Re: Equilibri sui bordi

Messaggio da simone256 » 18 ott 2014, 10:44

Ineffetti ieri sera non ho pensato a sta complicazione... La tua soluzione va bene oppure potremmo immaginare i mattoni con un raggio di curvatura di $ 6,37 \cdot 10^6 m $ :lol:
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Scugnamì
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Re: Equilibri sui bordi

Messaggio da Scugnamì » 20 ott 2014, 16:35

Proviamo a rispondere ai primi due quesiti. Allò dimostriamo che se posseggo $n$ mattoni di lunghezza $2L$ posso sporgere esattamente di $\displaystyle L\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}$. Procediamo per induzione. Come passo base abbiamo $n=1$ che ci dà una possibile sporgenza di $L$. Se il mattone sporgesse di più il suo centro di massa starebbe fuori dal limite del tavolo e cadrebbe. Adesso supponiamo sia vero per $n-1$ e dimostriamolo per $n$ mattoni. Ora diamo un po' di nomi . Diciamo $x_i$ la coordinata orizzontale del centro di massa dell'$i$esimo mattone contando dal basso in un sistema di riferimento in cui lo spigolo del tavolo abbia ascissa $0$. Diciamo ora $d$ la lunghezza di cui sporge il primo mattone. Ora per induzione tutti i mattoni dal $2$ in poi possono sporgere rispetto al primo di $\displaystyle L\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i}$. Quindi la quantità che stiamo cercando è $\displaystyle L\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i}+d$. Diamo allora una caratterizzazione a $d$. Notando che i mattoni sopra al primo debbono essere in equilibrio su questo ultimo deve valere $\displaystyle \sum_{i=2}^{n} x_i=(n-1)d$ in modo tale che il loro centro di massa non sporga fuori dall'estremità del mattone. Al contempo si ha che $x_1=d-L$. Per le condizioni di equilibrio dell'intero sistema e per quanto appena detto si deve allora avere $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i=(n-1)d+d-L=0 \ \ \Rightarrow d=\frac{L}{n}$ e si ha quindi la tesi.
Cristo è l'unica soluzione reale. Tutte le altre sono complesse coniugate

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Re: Equilibri sui bordi

Messaggio da simone256 » 21 ott 2014, 22:53

Credo vada benissimo :)
Gli ultimi due punti sono i più facili ma un pochino di conoscenze di analisi sono (quasi) indispensabili!
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Re: Equilibri sui bordi

Messaggio da Drago96 » 21 ott 2014, 23:01

Non necessariamente, anche se le dimostrazioni olimpiche un po' la nascondono...
Oserei quasi dire che è noto, ma siamo in "fisica" e non in tdn xD
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Re: Equilibri sui bordi

Messaggio da simone256 » 22 ott 2014, 23:51

Il problema è in sè molto matematicoso e poco fisico fisico... Per quello ho avuto il coraggio di postarlo qui :P
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