Integrale su moto di caduta con resistenza del mezzo

Meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, relatività, ...
Rispondi
BorisM
Messaggi: 45
Iscritto il: 08 lug 2013, 20:11

Integrale su moto di caduta con resistenza del mezzo

Messaggio da BorisM » 13 lug 2014, 17:47

Stavo studiando sull' Halliday (capitolo 4.4) in cui si discute della resistenza del mezzo e del moto dei proiettili.
Si dice che naturalmente il mezzo offre una resistenza pari a $ D=bv $ in quanto è essa direttamente proporzionale alla velocità.
Si dice poi che $ mg-bv_{y}=ma_{y} $ da cui si ricava facilmente $ a_{y}=g-\frac{mv_{y}}{m} $
Poi dato che $ a_{y}=\frac{dv_{y}}{dt} $ si ha:
$ \frac{dv_{y}}{g-\frac{bv_{y}}{m}}=dt $
Al passaggio successivo svolge l' integrale e dice che:
$ t=-\frac{m}{b}ln{\frac{mg-bv_{y}}{mg}} $
Non riesco a capire da dove sbuca quel $ g $ al denominatore. A me infatti integrando verrebbe:
$ t=-\frac{m}{b}ln{\frac{mg-bv_{y}}{m}} $ Il primo problema è questo..qualcuno potrebbe farmi capire cosa mi sto scordando?
Naturalmente di qui si giunge facilmente alla soluzione:
$ v_{y}(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{\frac{-bt}{m}}) $

Si richiede poi in un problema (problema n°17 cap 4) di calcolare l' accellerazione in funzione del tempo e lo spazio di caduta in funzione del tempo. Per il primo punto basta semplicemente sostituire a $ a_{y}=\frac{dv_{y}}{dt} $ il valore trovato per $ v_{y} $ ovvero $ v_{y}(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{\frac{-bt}{m}}) $ da cui si trova che:
$ a_{y}=ge^{\frac{-bt}{m}} $ e fin qui tutto ok.

Mi è sorta un pò di difficoltà invece per quanto riguarda il punto due ovvero calcolare lo spazio di caduta in funzione del tempo.
Qui ho svolto in questo modo:
Si sa che $ v_{y}=\frac{dx}{dt} $ e quindi sostituendo a $ v_{y}(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{\frac{-bt}{m}}) $ si ottiene:
$ dx=\frac{mg}{b}(1-e^{\frac{-bt}{m}})dt $
Da qui ho svolto l' integrale e ho ottenuto:
$ x=\frac{mg}{b}(t+\frac{m}{b}e^{\frac{-bt}{m}}) $ mentre la soluzione dovrebbe essere $ x=\frac{mg}{b}(t+\frac{m}{b}(e^{\frac{-bt}{m}}-1)) $
Ancora una volta mi sono scordato qualcosa..Qualcuno può darmi qualche dritta? Grazie mille :)

darkcrystal
Messaggi: 671
Iscritto il: 14 set 2005, 11:39
Località: Chiavari

Re: Integrale su moto di caduta con resistenza del mezzo

Messaggio da darkcrystal » 13 lug 2014, 19:49

In entrambi i casi il problema è che ti sei scordato l'estremo inferiore nell'integrale. Guardiamo la tua seconda domanda (ma la prima ha lo stesso problema): devi calcolare
\[
\int_0^{t_0} \frac{mg}{b}\left(1-e^{-bt/m} \right) dt.
\]
Hai trovato che $F(t)=\displaystyle \frac{mg}{b} \left(t+ \frac{m}{b} e^{-bt/m} \right)$ è una primitiva della roba che stai integrando: molto bene, mi sembra sia vero. Ora devi calcolarla nei due estremi e fare la differenza: otterrai $F(t_0)-F(0)=\displaystyle \frac{mg}{b} \left(t_0+ \frac{m}{b} e^{-bt_0/m} \right) - \frac{mg}{b} \left( \frac{m}{b} \right)$, che mi sembra coincida con il risultato dell'Halliday.
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein

Membro dell'EATO

BorisM
Messaggi: 45
Iscritto il: 08 lug 2013, 20:11

Re: Integrale su moto di caduta con resistenza del mezzo

Messaggio da BorisM » 13 lug 2014, 19:57

Si hai proprio ragione !!! Ho iniziato da poco a studiare questi metodi di integrazione applicati alla fisica e sto cercando di capire come funzionano..
Grazie mille :D

Rispondi

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 4 ospiti