Corda fissata agli estremi

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kalu
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Corda fissata agli estremi

Messaggio da kalu » 11 gen 2013, 14:17

A letto con la febbre per un paio di giorni, non avendo altro da fare ho pensato a questo problema (magari noto, magari extra-noto), che giudico carino :|
Abbiamo una corda (inestendibile, omogenea... insomma ideale) di lunghezza $2L$ e massa $m$, e ne fissiamo gli estremi a due chiodi posti alla stessa altezza e distanti fra loro $ 2(L-s) $, con $ s\ll L $. Si suppone che la corda sia in equilibrio. Determinare con le opportune approssimazioni:
1) La differenza $h$ fra l'altezza dei chiodi e l'altezza del punto medio della corda.
2) L'energia potenziale gravitazionale $U$ della corda (ponendo potenziale nullo in corrispondenza dell'altezza del punto medio della corda).
3) L'intensità $F$ e l'angolo $\theta$ rispetto all'orizzontale della forza esercitata da ciascun chiodo.
Hinto i miei risultati, che ho trovato con metodi semplici e direi quasi rozzi, quindi non tirate cannonate come "curva catenaria" et similia (Enigma dico a te :) ).
Testo nascosto:
1) $ \displaystyle h=\sqrt{\frac{3Ls}{2}} $
2) $ \displaystyle U=\sqrt{\frac{Ls}{6}}mg $
3) $ \displaystyle F=\sqrt{\frac{L}{6s}}\frac{mg}{2} \ \ \ \ \theta=\sqrt{\frac{6s}{L}} $
PS Per chi come me non avesse troppa dimestichezza con gli integrali, consiglio di immaginare che la massa della corda sia equamente ripartita in $2n$ punti equidistanti fra loro, e poi di portare i risultati al limite $ \lim_{n \to \infty} $.
Pota gnari!

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simone256
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Re: Corda fissata agli estremi

Messaggio da simone256 » 15 mag 2013, 19:14

Nessuno ci prova... Un aiutino?
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.


$ \mbox{ }\mbox{ } $Tsune ni shinen kufu seyo

Whov
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Re: Corda fissata agli estremi

Messaggio da Whov » 16 giu 2015, 19:03

Premettendo che non ho mai studiato l'analisi ancora (e quindi ho consultato wikipedia per qualche info), cuccatevi questa marea di assurdità (credits a Maxima per i calcoli):
la curva è una catenaria, approssimabile a una parabola del tipo y=ax^2 con a molto piccolo. Il vertice coincide con l'origine posta nel punto più basso della catena. E ora ci divertiamo: la lunghezza della parabola si trova con un'integrale (orgoglio per aver impostato la formula senza andare a vederla prima su internet :mrgreen: ). Impongo che nell'intervallo [-(L-s); L-s] la curva sia lunga 2L. $ \displaystyle\int^{L-s}_{s-L} \sqrt{(\frac{d}{dx}\left (ax^2\right))^2+1} \,dx = 2L $. Maxima muore nel calcolo, quindi qui dobbiamo intervenire sull'integrale indefinito :twisted: . In effetti Maxima mi informa del fatto che quell'integrale valga $ \dfrac{\mathrm{asinh}\left( 2\,\left| a\right| \,x\right) }{4\,\left| a\right| }+\dfrac{x\,\sqrt{4\,{a}^{2}\,{x}^{2}+1}}{2} $ che, nell'ipotesi a>0 e a piccolo, si riduce a $ \dfrac{x}{2}+\dfrac{x\,\sqrt{4\,{a}^{2}\,{x}^{2}+1}}{2} $ poiché $ asinh(x) \approx x $ per x piccoli. Dunque risolvo l'equazione con l'integrale definito con qualche accortezza sui valori (cioé s-L<0) e ottengo due valori opposti per a, per cui $ a=\dfrac{\sqrt{s\,L}}{(L-s)^2} $, da cui $ y(x)=\dfrac{\sqrt{s\,L}}{(L-s)^2} x^2 $. Ora il più è fatto ( :?: ).
1) L'altezza è la y per x=L-s: calcolo e ottengo $ \sqrt{Ls} $
2) U è un'integrale e qui ho il mio primo dubbio (non il primo errore eh!): voglio integrare in [-(L-s); (L-s)], ma per calcolare la massa del frammento infinitesimo portato all'altezza y(x) uso $ \rho * dx $ o uso $ \rho $ * quell'integrale per la lunghezza della parabola nel tratto [x;x+dx] ($ \rho $ è la densità lineare della catena omogenea). A giudicare dal risultato solo della lunghezza immagino che l'integrale U divenga mostruoso, quindi vado con il valore approssimato dx (ma comunque esatto al limite, no?). Perciò $ U=\displaystyle\int^{(L-s)}_{-(L-s)} \rho * g * y(x) \,dx = \dfrac{2\,\rho * g\,\sqrt{s\,L}\,\left( L-s\right) }{3} = \frac{mg}{3} \sqrt{\frac{s}{L}} (L-s) \approx \dfrac{mg}{3} \sqrt{Ls} $
3) Ricordo che $ \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta $. Dunque la derivata di y nel punto x=L-s mi indica la tangente dell'angolo che la forza forma con l'orizzontale, quindi $ \theta \approx \dfrac{2\,\sqrt{s\,L}}{L-s} \approx 2 \sqrt{\frac{s}{L}} $. Le componenti orizzontali della forza si elidono vicendevolmente, mentre in vertical si ha $ 2F \sin \theta = \rho * 2L * g $, da cui razionalizzando $ F \approx \dfrac{\rho g (L-s) \sqrt{Ls}}{2s} \approx \dfrac{mg}{4} \sqrt{\dfrac{L}{s}} $.
Tirando le somme non sono andato troppo male, a parte un coefficiente numerico uguale neanche alla morte :roll: le proporzionalità sono identiche. Qualcuno si prende la briga di revisionare please :roll:

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