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Una navicella orbita intorno ad un pianeta. Improvvisamente una forza impulsiva esterna al sistema navicella-pianeta modifica in brevissimo tempo il modulo della velocità della prima, facendolo variare da $ v_1 $ a $ v_2 $ (direzione e verso rimangono invariati). Per effetto di questa accelerazione, l'asse maggiore dell'orbita varia da $ a_1 $ a $ a_2 $.
Si dimostri che $ \displaystyle \frac{a_1}{a_2}+\frac{{v_2}^2}{{v_1}^2}=2 $
EDIT Scusatemi, mi accorgo solo adesso di aver tralasciato un dettaglio fondamentale: l'orbita iniziale è circolare! (e quindi l'asse maggiore $ a_1 $ praticamente è il raggio)

Parto con queste due equazioni che ho usato:

in un'orbita ellittica, la velocità di un corpo che dista r metri dal pianeta orbitato è
[math] \displaystyle v=\sqrt{\mu\left(\frac 2 r - \frac 1 a\right)}
Con [math]a uguale al semiasse maggiore dell'ellisse e [math]\mu uguale al prodotto della massa del corpo orbitato per la costante di gravitazione universale.
Quindi in ogni punto di un'orbita circolare, essendo [math]\displaystyle r=u, è

[math]\displaystyle v=\sqrt{\frac{\mu}{r}}

Ora dati [math]a_1, a_2, v_1, v_2, l'identità da dimostrare è

[math]\displaystyle \frac{a_1}{a_2} +\frac{\left(\sqrt{\mu\left(\frac 2 {\frac{a_1} 2} - \frac 1 {\frac {a_2} 2}\right)}\right)^2}{\left(\sqrt{\frac {\mu}{\frac{a_1}2}}\right)^2}=2

Si semplificano le radici e i [math]\mu e semplifico le frazioni di frazioni:

[math]\displaystyle \frac {a_1}{a_2} + \frac{\frac 4 {a_1}-\frac 2{a_2}}{\frac2{a_1}}=2

Dividendo [math]\frac 4 {a_1}-\frac 2{a_2} per[math]\frac2{a_1} si ha

[math]\displaystyle \frac {a_1} {a_2} +2 -\frac {a_1} {a_2}= 2
I due [math]\frac {a_1} {a_2} si eliminano e l'identità è dimostrata.
R.

non hai considerato l'attrazsione del sole