Campo elettrico di un piano

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edriv
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Campo elettrico di un piano

Messaggio da edriv » 23 set 2009, 16:22

Scusate,
io ho un libro di fisica che mi dice che il campo elettrico di un piano con carica uniforme ha la stessa intensità ovunque.
Non riesco a capire questo: cioè, se io allontano una particella dal piano, visto che la distanza da ogni punto del piano aumenta, non dovrebbe diminuire la forza di attrazione?

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Nonno Bassotto
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Messaggio da Nonno Bassotto » 23 set 2009, 16:27

No, e in effetti se ci pensi un attimo, essendo il piano infinito, allontanare la particella ha lo stesso effetto che cambiare unità di misura (cioè nessuno). A te rendere preciso l'argomento :)
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Il_Russo
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Messaggio da Il_Russo » 23 set 2009, 16:33

Benvenuto nella fisica, edriv! Falsa per eccellenza e per definizione. :D

Comunque non c'è nulla di strano. La dimostrazione è corretta (sfrutta il teorema di Gauss), e diventa plausibile se pensi che, data una particella vicina al piano una larga parte del piano esercita su di essa forze che si annullano quasi reciprocamente, mentre se è più lontana allora ci sono meno forze che si annullano (quasi) tra loro, sebbene più deboli. Poi Nonno lo spiega più precisamente.
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Messaggio da julio14 » 23 set 2009, 16:46

Il problema di edriv mi fa sorgere una domanda... Se alla forza Coulombiana sostituissimo una qualunque forza del tipo $ $k\cdot r^{\alpha} $ con $ $k,\alpha\in\mathbb{R} $ l'argomento di Nonno Bassotto sembrerebbe reggere, ma Gauss per $ $\alpha $ generico cade. La proprietà rimane vera? Se no, per quali alpha oltre a -2 e 0 lo è? (ora mi metto a far conti)
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edriv
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Messaggio da edriv » 23 set 2009, 16:51

Ah ok, la spiegazione di Kirill mi ha aiutato particolarmente.

Grazie a tutti comunque.

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edriv
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Messaggio da edriv » 23 set 2009, 17:04

Tanto per dimostrare che ho capito qualcosa, rispondo a julio.
L'argomento di Nonno Bassotto si applica anche al caso alpha generico, però NON porta allo stesso risultato.

Invece che disporre le cariche su un piano, disponiamole su un reticolo $ \mathbb Z \times \mathbb Z $, che approssima bene il piano.
Consideriamo la forza di attrazione esercitata dal reticolo su un punto P, posto ad una certa distanza del piano. Raddoppiamo ora questa distanza, portando P in kP.
Ragionando con delle omotetie, cosa possiamo dire? Che l'attrazione tra P e $ \mathbb Z \times \mathbb Z $, moltiplicata per $ k^{\alpha} $, ci da l'attrazione tra kP e $ (k\mathbb{Z}) \times (k \mathbb{Z}) $. Le cariche su $ \mathbb Z \times \mathbb Z $ hanno una densità sul piano che è $ k^2 $ volte tanto quella di $ (k\mathbb{Z}) \times (k \mathbb{Z}) $.

In base a questo ragionamento portato un po' al limite (ci serve che Z^2 sia sempre più denso nel piano), possiamo dire che:
la forza di attrazione tra kP e il piano è $ k^{\alpha - 2} $ volte quella tra P e il piano.

In particolare, se vivessimo in uno spazio a 4 dimensioni, il campo generato da un sottospazio 3dimensionale non sarebbe uniforme, ma decrescerebbe di intensità con l'allontanarsi da esso.

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Davide90
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Messaggio da Davide90 » 23 set 2009, 21:12

La questione sollevata da edriv non è banale, e secondo me è molto bella e istruttiva, una delle bellezze della fisica [con il supporto della matematica, beninteso :) ].

Da un punto di vista fisico, ma anche matematico, a mio parere la risposta di Kirill non è pienamente corretta, per quanto aiuti a farsi un'idea per il caso di un piano "finito": dopodichè, passando mentalmente all'infinito, risulta chiara la questione.
Tuttavia è un po' come quando si confrontano le gerarchie di $ \mathbb N $ e $ \mathbb Q $ (è la prima analogia che mi è venuta in mente): un approccio corretto è quello usato da Nonno Bassotto, in quanto in un piano infinito non ha senso la stessa idea di "confrontare" le distanza del punto dal piano. Immaginiamo di cambiare unità di misura, o più semplicemente di "zoomare" sul punto: vediamo che in realtà le due configurazioni sono indistinguibili, dunque non ha senso parlare di distanza di un punto dal piano, e questa semplice ragione è sufficiente a giustificare una non-dipendenza di $ \vec E $ da una qualunque distanza: questa cosa credo si chiami invarianza di scala, o qualcosa di simile.
Il post successivo di edriv centra poi la questione da un punto di vista maggiormente matematico, e giustifica questa legge solo per forze dipendenti da $ r^{-2} $ .

La stessa cosa vale per il campo elettrico generato da un filo infinito: l'invariante di scala qui è a meno di un fattore $ r $. Infatti siamo in fisica, non in geometria, e un filo ha una larghezza non nulla. Quindi una "zoomata indietro" sul punto corrisponde ad un restringimento del filo, e viceversa una "zoomata avanti" è indistinguibile da un allargamento del filo.
Qui la variabile in gioco è una (la larghezza), quindi il campo va come $ \frac{1}{r^2}\cdot r=\frac1r $ .

Concludendo con il campo generato da una sfera carica, l'invariante di scala qui è a meno di un fattore $ r^2 $: infatti cambiando scala di misura del punto dalla sfera, variano due dimensioni della sfera.

Sicuramente mi sarò espresso in modo poco corretto, però quello che ho detto credo che sia abbastanza sensato... :roll: Correggete ovviamente se ho detto delle fesserie. :D
"[L'universo] è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche; [...] senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto." Galileo Galilei, Il saggiatore, 1623
[tex] e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta[/tex]

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