Gravità, primo round (SNS 2007-2008)

Meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, relatività, ...
CoNVeRGe.
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Messaggio da CoNVeRGe. » 25 apr 2009, 14:19

elendil ha scritto: Il calcolo della velocità $ v $ si ottiene dall'eguagliare accelerazione gravitazionale e centripeta: $ \frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2} $ e quindi l'energia della situazione descritta nel problema è equivalente a quella di un moto circolare di raggio pari al semiasse maggiore dell'ellisse con la massa $ M $ al centro.
Potresti essere più esplicito? Perchè sono equivalenti?
elendil ha scritto: se inizialmente approssimo ad una circonferenza per calcolare l'energia totale mantenendo tale approssimazione ha senso cercare un tratto "più conveniente"? Non dovrei recuperare il fatto che l'orbita è ellittica? Ma allora perchè si approssima una volta sì e una no :?
L'orbita è ellittica, e puo anche essere nient'affatto approssimabile ad una circonferenza.. l'equivalenza di sopra è solo energetica

memedesimo
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Messaggio da memedesimo » 28 apr 2009, 00:10

Per Piever: io a suo tempo ho scritto esattamente quello che hai detto tu per quanto riguarda la soluzione del problema (il tempo è minimo al perielio ecc...) e me lo hanno dato per buono

elendil
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Messaggio da elendil » 29 apr 2009, 19:01

CoNVeRGe. ha scritto:
elendil ha scritto: Il calcolo della velocità $ v $ si ottiene dall'eguagliare accelerazione gravitazionale e centripeta: $ \frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2} $ e quindi l'energia della situazione descritta nel problema è equivalente a quella di un moto circolare di raggio pari al semiasse maggiore dell'ellisse con la massa $ M $ al centro.
Potresti essere più esplicito? Perchè sono equivalenti?
Considerando l'orbita come una circonferenza ho eguagliato l'accelerazione centripeta a quella gravitazionale, se non fossero uguali il corpo non rimarrebbe in orbita...
Ho sfruttato questa approssimazione perchè altrimenti non saprei trovare l'energia totale (forse bisognerebbe ricorrere agli integrali che però non so usare).
Che l'ellissi potrebbe essere ben poco approssimabile ci credo e la cosa mi fa paura :twisted: (non saprei neanche come cominciare in tal caso :oops: ).
Per il secondo punto si può cominciare a ragionare da $ K>E_{tot} $?
Sapere aude!

CoNVeRGe.
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Messaggio da CoNVeRGe. » 29 apr 2009, 21:56

elendil ha scritto: Che l'ellissi potrebbe essere ben poco approssimabile ci credo e la cosa mi fa paura :twisted: (non saprei neanche come cominciare in tal caso :oops: ).
Beh, allora sappi che non hai affatto giustificato il primo punto :wink: :D

L'energia che ti viene chiesta è quella totale meccanica, quindi per saperla dovresti sapere l'energia potenziale e cinetica in un qualsiasi punto dell'orbita, perchè l'energia è costante e propria dell'orbita.
elendil ha scritto: Per il secondo punto si può cominciare a ragionare da $ K>E_{tot} $?

Non so cosa intendi con 'cominciare a ragionare da' ma riassumo brevemente le nozioni principali sperando di risponderti:

L'energia totale $ \displaystyle E $ è data da $ \displaystyle E = K + U_g $, all'inizio è negativa perchè il potenziale si calcola assumendo per 0 quello in cui i corpi sono a distanza infinita (e tutti i punti più vicini hanno potenziale sempre più negativo)
Poichè $ \displaystyle K $ puo essere al minimo uguale a 0, la distanza dalla terra è al più una certa distanza, determinata. Per questo motivo l'orbita è chiusa.

Per poter uscire dall'orbita è necessario che $ \displaystyle E $ sia positivo, ovvero che la velocità in un qualsiasi punto sia maggiore della velocità per la quale, considerando il potenziale in quel punto, si ha $ \displaystyle E>0 $, e per questo motivo $ \displaystyle v_{fuga} $ dipende dalla stessa distanza $ \displaystyle r $.

Le due cose le ha già dette SkZ e sono equivalenti.

elendil
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Messaggio da elendil » 29 apr 2009, 23:54

Ok forse sono stato poco chiaro: che l'energia chiesta è quella meccanica et similia c'ero arrivato, è che non so trovarmi una formula per la velocità (da cui poi ricarmi $ K $) se non sfruttando l'uguaglianza fra accelerazione gravitazionale e centripeta, cui ricorro approssimando l'orbita ad una circonferenza.
Poi boh tornare è tornata; ma sono d'accordo che non ho affatto giustificato il tutto in maniera convincente.
Sapere aude!

atat1tata
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Messaggio da atat1tata » 03 mag 2009, 22:02

Ok, per il punto 1 il suggerimento è pensare al momento angolare

Jumpy90
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Messaggio da Jumpy90 » 04 set 2009, 20:54

Il corpo A di massa $ $m$ $ percorre un'orbita ellittica un fuoco della quale è occupato dal corpo B di massa superiore $ $M$ $. Nel sistema di riferimento centrato in B, l'equazione generale di una conica in forma polare risula essere:
1)$ $\begin{displymath} \frac{1}{r(\theta)}=\frac{1}{\epsilon d}-\frac{1}{d}\cos{\theta} \end{displymath}$ $
dove $ $\epsilon$ $ è l'eccentricità della conica e $ $d$ $ è da distanza dl fuoco B dalla direttrice. Nel caso specifico, $ $0<\epsilon<1$ $ e il semiasse maggiore $ $a$ $ è legato a $ $\epsilon$ $ e $ $d$ $ dalla relazione:
2)$ $\begin{displaymath} a=\frac{\epsilon d}{1-{\epsilon}^{2}} \end{displaymath}$ $
Tenendo conto del fatto che, seppur di poco, il corpo B accelera lungo la congiungente con A, la massa di A risulta nel sistema di riferimento considerato "ridotta", ed uguale a $ $\mu=\frac{Mm}{M+m}$ $. Il momento angolare del sistema si conserva poiché è isolato, e in ogni istante è uguale a:
3)$ $\begin{displaymath} L=\mu r^{2}\frac{d\theta}{dt} \end{displaymath}$ $
L'energia del sistema $ $E$ $ è la somma dell'energia cinentica di A e dell'energia potenziale, l'addove quest'ultima è negativa poiché per convenzione si è scelta nulla all'infinito.
4)$ $\begin{displaymath} E=\frac{1}{2}\mu{v}^{2}-G\frac{Mm}{r} \end{displaymath}$ $
La velocità al quadrato $ $v^{2}$ $ è uguale alla somma dei quadrati delle componenti radiale e trasversale:
5)$ $\begin{displaymath} v^{2}=r^{2}{\left(\frac{d\theta}{dt}\right)}^{2}+{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^{2} \end{displaymath}$ $
Giacché si è espresso $ $r$ $ in coordinate polari nella 1), è giusto esprimere la derivata temporale in funzione di quest'ultime. Per cui:
6)$ $\begin{dispaymath} \frac{dr}{dt}=\frac{dr}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=\frac{L}{\mu{r}^{2}}\frac{dr}{d\theta}=-\frac{L}{\mu}\frac{d}{d\theta}\left(\frac{1}{r}\right) \end{displaymath}$ $
Dopo aver sostituito la 6) e la 5) nella 4), effettuato la derivata e le relative semplificazioni, si pervinene alla seguente formula per l'energia:
7)$ $\begin{displymath} E=-\frac{L^{2}}{2\mu}\frac{1-{\epsilon}^{2}}{\epsilon^{2} d^{2}}+\frac{L^{2}}{r\mu\epsilon d}-G\frac{Mm}{r}=-\frac{L^{2}}{2a\mu\epsilon d}+\frac{L^{2}}{r\mu\epsilon d}-G\frac{Mm}{r} \end{displaymath}$ $
A questo punto non resta che ricavare il valore del momento angolare. Ovviamente ci si deve aspettare che sia costante, per cui è ragionevole pensare che dipenda da valori invarianti del sistema come il riferimento, quindi da $ $\mu$ $, dalle masse dei corpi, dalla costante gravitazionale e anche dalle caratteristiche geometriche del moto, per cui da $ $\epsilon$ $ e da $ $d$ $.
Il corpo A è soggetto ad una forza centrale, per cui avrà una certa accellerazione radiale e ovviamente un'accellerazione trasversale nulla. Procedo quindi con il calcolo dell'accellerazione derivando il vettore velocità per il tempo, senza curarmi però della componente trasversale:
8 )$ $\begin{displaymath} \overline{a}=\frac{d\overline{v}}{dt}=\frac{d}{dt}\left[ r\frac{d\theta}{dt}\overline{u_{t}}+\frac{dr}{dt}\overline{u_r} \right] =\left[\frac{d^{2}r}{dt^{2}}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^{2}\right]\overline{u_{r}}\end{displaymath}$ $
In cui si è fatto uso del fatto che:
$ $\begin{displymath}\frac{d\overline{u_t}}{dt}=-\frac{d\theta}{dt}\overline{u_r}\end{displaymath}$ $
Come prima, è utile esprimere la derivata temporale che compare in 8 ) in funzione delle coordinate polari, per cui, eseguendo gli stessi passaggi già eseguiti al punto 6), e con le dovute sostituzioni, si perviene alla seguente formula per l'accellerazione:
9)$ $\begin{displaymath} \overline{a}=-\frac{L^{2}}{\mu^{2}r^{2}}\left[\frac{d^{2}}{d\theta^{2}}\left(\frac{1}{r}\right)+\frac{1}{r}\right]\overline{u_r}=-\frac{L^{2}}{\mu^{2}r^{2}}\left(\frac{1}{\epsilon d}\right)\overline{u_r} \end{displaymath}$ $
Moltiplicando il modulo di $ $\overline{a}$ $ per $ $\mu$ $ e uguagliando tale forza per quella gravitazionale si perviene alla formula che da il valore del quadrato del momendo angolare in funzione delle costati di cui sopra si è data una giustificazione teorica:
10)$ $\begin{displaymath} L^{2}=GMm\mu\epsilon d \end{displaymath}$ $
Sostituendo 10) nella 7) si perviene finalemente all'energia:
$ $\begin{displaymath} E=-G\frac{Mm}{2a} \end{displaymath}$ $

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 04 set 2009, 21:48

Bene. Adesso trovate una soluzione molto più facile e molto più corta.

Jumpy90
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Messaggio da Jumpy90 » 05 set 2009, 18:38

Ok...mi scuso se ho utilizzato una metodologia che magari non perfettamente si addice ad un forum di fisica che mira più all'originalità che ad un brutale utilizzo di formule. Per cui attuo un diverso approccio che non richiede particolari conoscenze.
Supponiamo quindi di non conoscere la formulazione in termini di coordinate polari dell'ellisse e della formula di Binét che ho in parte dimostrato nei punti 8 ) e 9) del mio precedente messaggio. Supponiamo ancora che il corpo B di massa $ $M$ $ non si muova affatto, per cui trascuriamo la massa ridotta $ $\mu$ $ e consideriamo la massa propria $ $m$ $ di A.
Resta comunque la problematica di definire il momento angolare del sistema in funzione delle sue caratteristiche e di definire la posizione del corpo in funzioni di coordinate spaziali più che temporali (il sistema di riferimento è lo stesso del messaggio precedente).
Per ciò che riguarda il momento angolare, uguagliamo l'energia del corpo A all'afelio e al perielio, e esprimiamo le relative velocità in funzione del momento angolare della massa e della distanza. In formule;
$ $\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}m{v_a}^{2}-G\frac{Mm}{r_a}=\frac{1}{2}m{v_p}^{2}-g\frac{Mm}{r_p} \\ L=mr_a{v_a}=mr_pv_p \end{array} \right. \end{displaymath} $ $
Da cui si ricava facilmente che;
$ $\begin{displaymath} L^{2}=GMm^{2}\frac{2}{r_p+r_a}r_pr_a=G\frac{Mm}{a}r_ar_p \end{displaymath}$ $
e osservando che;
$ $\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{ll} r_a=a+c \\ r_p=a-c \end{array} \right. \end{displaymath}$ $
si ha;
$ $\begin{displaymath} L^{2}=G\frac{Mm^{2}}{a}b^{2} \end{displaymath}$ $
dove $ $b$ $ è il semiasse minore.
L'energia è, come prima;
$ $\begin{displaymath} E=\frac{1}{2}m\left(v_t^{2}+v_r^{2}\right)-G\frac{Mm}{r} \end{displaymath}$ $
La componente tangenziale la possiamo esprimere nel seguente modo;
$ $\begin{displaymath} v_t=\frac{L}{mr} \end{displaymath}$ $
mentre la componente radiale necessita del calcolo della derivata temporale di $ $r$ $. Per fare ciò mi ricavo l'espressione del punto 1) con un ragionamento geometrico e applico il ragionamento effettuato al punto 6) del precedente messaggio.
Rifacendomi alla figura nell'allegato, si sa che;
$ $\begin{displaymath} r+e=2a \end{displaymath}$ $
e applicando il teorema di Carnot al lato $ $e$ $, si pervinene alla seguente formula;
$ $\begin{displaymath} \frac{1}{r}=\frac{a}{b^{2}}-\frac{c}{b^{2}}\cos{\theta} \end{displaymath}$ $
A questo punto si procede come al punto 6) e si ricava il valore dell'energia.
Immagine

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 05 set 2009, 21:40

Oppure si scrive semplicemente ("p" e "a" stanno per perielio e afelio"):

$ E = \frac{1}{2} m v_p^2 - \frac{GMm}{d_p} $
$ E = \frac{1}{2} m v_a^2 - \frac{GMm}{d_a} $

$ d_a * v_a = d_p * v_p $ (conservazione momento angolare)

$ 2a = d_p + d_a $

facendo un bel po' di sani contacci (ma non più di quanti ne hai fatti tu) si ricava:

$ v_a^2 = \frac{2a-d_a}{d_a * a} GM $

E sostituendo nella seconda delle equazioni scritte si ha la tesi. Questi sono esercizi che vorrebbero essere risolubili con poco più delle conoscenze del liceo...

Jumpy90
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Messaggio da Jumpy90 » 06 set 2009, 12:31

Giusto!!! Solo che io mi sono ostinato a dimostrare la formula nel caso in cui il corpo A si trova un un punto qualunque dell'orbita.....

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