Gravità, primo round (SNS 2007-2008)

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atat1tata
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Gravità, primo round (SNS 2007-2008)

Messaggio da atat1tata » 19 apr 2009, 22:38

Un’astronave di massa m orbita attorno ad un pianeta di massa $ M \ggm $. L’orbita è ellittica con semiasse maggiore $ a $ e semiasse minore $ b $.
(a) Si mostri che l’energia totale dell’astronave è data da
$ E = -\frac{GMm}{2a} $.
(b) Usando questa formula si trovi il punto dell’orbita in cui conviene accendere i motori dell’astronave per sfuggire all’attrazione gravitazionale del pianeta. Si supponga che i motori producano sullo scafo una forza costante $ F $ e che possano essere accesi per un tempo massimo $ t $ molto minore del periodo $ T $ dell’orbita.

la forza di gravità è centrale quindi...

Aggiornamento: corretto il segno meno, grazie SkZ
Ultima modifica di atat1tata il 19 apr 2009, 23:23, modificato 2 volte in totale.

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Messaggio da SkZ » 19 apr 2009, 23:16

ti sei dimenticato un segno meno, altrimenti la navicella e' gia' slegata

:? si puo' dire che vale tale valore per il teorema del viriale? :wink:
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Messaggio da atat1tata » 19 apr 2009, 23:24

SkZ ha scritto: :? si puo' dire che vale tale valore per il teorema del viriale? :wink:
Sì, ma c'è un modo meno avanzato

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Messaggio da SkZ » 19 apr 2009, 23:26

la mia era una battuta: a usare il teorema del viriale si corre il rischio che te lo chiedano da dimostrare all'orale :D
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Messaggio da atat1tata » 19 apr 2009, 23:37

SkZ ha scritto:la mia era una battuta: a usare il teorema del viriale si corre il rischio che te lo chiedano da dimostrare all'orale :D
aaaah.. :lol:

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Messaggio da elendil » 22 apr 2009, 15:22

Domanda: si può trascurare il fatto che l'orbita sia un ellisse e considerarla una circonferenza, vero?
Dovrebbe venire allora che $ v=\sqrt{\frac{GM}{a}} \rightarrow K=\frac{GMm}{2a} $ e $ U_g=-\frac{GMm}{a} $ da cui $ E_{tot}=K+U_g=-\frac{GMm}{2a} $
Del punto b non ho capito questo:
Si supponga che i motori producano sullo scafo una forza costante F e che possano essere accesi per un tempo massimo t molto minore del periodo T dell’orbita.
Sapere aude!

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Messaggio da SkZ » 22 apr 2009, 17:13

intende che e' un tempo quasi istantaneo
In pratica e' come se fermassi tutto accendi i motori, sposti la navicella e poi riprendi
durante l'accensione la navicella si sposta in modo trascurabile lungo la sua orbita
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Messaggio da atat1tata » 22 apr 2009, 17:28

elendil ha scritto:Domanda: si può trascurare il fatto che l'orbita sia un ellisse e considerarla una circonferenza, vero?
Dovrebbe venire allora che $ v=\sqrt{\frac{GM}{a}} \rightarrow K=\frac{GMm}{2a} $ e $ U_g=-\frac{GMm}{a} $ da cui $ E_{tot}=K+U_g=-\frac{GMm}{2a} $
Del punto b non ho capito questo:
Si supponga che i motori producano sullo scafo una forza costante F e che possano essere accesi per un tempo massimo t molto minore del periodo T dell’orbita.
Per il punto (a) il problema chiede di trovare la soluzione generica per un ellisse, ma, se ho ben capito, sei sulla strada giusta :wink: . Prova a motivare perché $ v=\sqrt{\frac{GM}{a}} $

Per il punto (b), come ha detto SkZ, devi fare conto che da un istante all'altro la velocità del punto venga modificata, ma la posizione resti immutata

Edit: refusi

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Messaggio da piever » 23 apr 2009, 16:23

Tento una soluzione bizzarra (e tragicamente poco formale) alla parte b:

Una parabole è un ellisse con asse maggiore infinito, per cui dalla formula si ottiene che in quel caso l'energia meccanica dell'astronave è 0. Quindi per passare dall'energia meccanica che ho a quella che devo avere devo fornire lavoro, che è forza per spostamento. La forza è costante, per minimizzare il tempo (dato lo spostanento) devo andare veloce, il punto in cui vado più veloce è il perielio, per cui devo accendere i motori lì.
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Messaggio da atat1tata » 23 apr 2009, 17:06

-- cavolata, scusate --
Ultima modifica di atat1tata il 23 apr 2009, 19:21, modificato 1 volta in totale.

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Messaggio da CoNVeRGe. » 23 apr 2009, 19:18

(a) Ok, la distanza dai fuochi è $ \displaystyle 2a $, quindi la distanza media da ognuno è $ \displaystyle a $.
Però chi sa farmi vedere che l'energia della situazione descritta nel problema è equivalente a quella di un moto circolare di raggio pari alla distanza media da un fuoco?

(b) Praticamente $ \displaystyle t<<T $ si deve tradurre in $ \displaystyle \Delta U \approx 0 $ ?
($ \displaystyle \Delta U $ è la variazione di en.potenziale durante il funzionamento dei motori)

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Messaggio da SkZ » 23 apr 2009, 19:38

fuggire dall'attrazione vuol dire
o portare $ ~v\geq v_f(r) $
o portare da $ ~E<0 $ a $ ~E\geq0 $
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Messaggio da piever » 24 apr 2009, 15:16

SkZ ha scritto:fuggire dall'attrazione vuol dire
o portare $ ~v\geq v_f(r) $
o portare da $ ~E<0 $ a $ ~E\geq0 $
Sull'energia che va a 0 quando si fugge dall'attrazione, ok perchè è quella della parabola, ma $ v_{f(r)} $ cosa sarebbe?
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Messaggio da CoNVeRGe. » 24 apr 2009, 15:47

piever ha scritto:
SkZ ha scritto:fuggire dall'attrazione vuol dire
o portare $ ~v\geq v_f(r) $
o portare da $ ~E<0 $ a $ ~E\geq0 $
Sull'energia che va a 0 quando si fugge dall'attrazione, ok perchè è quella della parabola, ma $ v_{f(r)} $ cosa sarebbe?
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Messaggio da elendil » 24 apr 2009, 19:48

Il calcolo della velocità $ v $ si ottiene dall'eguagliare accelerazione gravitazionale e centripeta: $ \frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2} $ e quindi l'energia della situazione descritta nel problema è equivalente a quella di un moto circolare di raggio pari al semiasse maggiore dell'ellisse con la massa $ M $ al centro.
Per quanto riguarda il punto b) ho ancora qualche dubbio: se inizialmente approssimo ad una circonferenza per calcolare l'energia totale mantenendo tale approssimazione ha senso cercare un tratto "più conveniente"? Non dovrei recuperare il fatto che l'orbita è ellittica? Ma allora perchè si approssima una volta sì e una no :?
Chiarito questo proverò a dare una soluzione decente...
Sapere aude!

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