Minimizzare AP + BP + CP

Meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, relatività, ...
Rispondi
Pigkappa
Messaggi: 1209
Iscritto il: 24 feb 2005, 13:31
Località: Carrara, Pisa

Minimizzare AP + BP + CP

Messaggio da Pigkappa »

Consideriamo il seguente teorema di geometria euclidea:

Sia ABC un triangolo acutangolo. Il punto P interno al triangolo tale che la somma delle lunghezze $ \displaystyle AP + BP + CP $ sia minima è quello per cui gli angoli $ \displaystyle \angle APB $, $ \displaystyle \angle BPC $ e $ \displaystyle \angle CPA $ sono uguali a $ \displaystyle \pi/3 $.

Vogliamo ricavare una dimostrazione un po' fisica di questa cosa. Fatelo seguendo la traccia che vi dò.
Si prendano tre corpi puntiformi di massa uguale a m. Consideriamo un sistema di fili senza massa tale che ognuna delle tre masse sia collegata tramite un filo ad uno stesso punto (metto una figura in allegato). Adesso mettiamo il triangolo ABC su un tavolo e facciamo un buco in corrispondenza di ognuno dei 3 vertici. Andate avanti voi :D .
Allegati
Problema_Morin.JPG
Problema_Morin.JPG (5.15 KiB) Visto 8292 volte
Avatar utente
pa
Messaggi: 81
Iscritto il: 14 feb 2008, 16:14
Località: Genova

Messaggio da pa »

Facciamo passare le tre masse per i fori in modo tale che il nodo sia sopra il tavolo e le masse sotto e attendiamo che tutto si stabilizzi. Chiamiamo P il punto dove si trova il nodo.
Una volta raggiunto lo stato di equilibrio possiamo affermare due cose: l'energia potenziale totale e' minima e il nodo e' fermo.
Dal fatto che la somma delle energie potenziali delle masse sia minima ricaviamo che la somma delle lunghezze dei fili sopra il tavolo e' minima. Infatti se poniamo lo zero dell'energia potenziale all'altezza del tavolo $ U = mg(-h_a-h_b-h_c)=mg(-l_a+AP-l_b+BP-l_c+CP) $ con $ l_a, l_b, l_c $ le lunghezze dei fili. U e' minimo quando AP+BP+CP e' minimo.
Dal fatto che P e' fermo ricaviamo che gli angoli che formano i fili sono di 2/3$ \pi $. Infatti sul nodo agiscono solo le tensioni che tengono sospese le masse, ed essendo le masse uguali sono uguali. L'unica disposizione possibile di tre vettori uguali con somma 0 e quella con gli angoli di 120 gradi al centro.
paolo
Pigkappa
Messaggi: 1209
Iscritto il: 24 feb 2005, 13:31
Località: Carrara, Pisa

Messaggio da Pigkappa »

E non è molto bello questo problema? :D
Avatar utente
julio14
Messaggi: 1208
Iscritto il: 11 dic 2006, 18:52
Località: Berlino

Messaggio da julio14 »

Bello bello :D
una goduria di soluzione... non mi sarei mai aspettato di vedere una cosa così matematica tirata fuori dal cappello fisico :D
g(n)
Messaggi: 109
Iscritto il: 14 ott 2007, 19:24
Località: Codroipo, il paese più anagrammato d'Italia

Messaggio da g(n) »

:o :o :o Fantastico :D

Pig, l'hai pensato tu?
Avatar utente
mitchan88
Messaggi: 469
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Contatta:

Messaggio da mitchan88 »

Veramente geniale! :D
[url:197k8v9e]http://antrodimitch.wordpress.com[/url:197k8v9e]

Membro del fan club di Ippo_
Pigkappa
Messaggi: 1209
Iscritto il: 24 feb 2005, 13:31
Località: Carrara, Pisa

Messaggio da Pigkappa »

g(n) ha scritto:Pig, l'hai pensato tu?
Magari :D . Era sul Morin.
Avatar utente
FrancescoVeneziano
Site Admin
Messaggi: 606
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Genova
Contatta:

Messaggio da FrancescoVeneziano »

Si trova anche in "Matematica per istantanee" (Mathematical snapshots) di Hugo Steinhaus, che se non sbaglio è tra i libri che vengono distribuiti a Cesenatico.
Ultima modifica di FrancescoVeneziano il 03 gen 2009, 14:42, modificato 1 volta in totale.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
Avatar utente
kn
Messaggi: 508
Iscritto il: 23 lug 2007, 22:28
Località: Sestri Levante (Genova)
Contatta:

Messaggio da kn »

FrancescoVeneziano ha scritto:è tra i libri che vengono distribuiti a Cesenatico.
Perché? A Cesenatico ti regalano dei libri?!? :o
Avatar utente
EUCLA
Messaggi: 771
Iscritto il: 21 apr 2005, 19:20
Località: Prato

Messaggio da EUCLA »

kn ha scritto:
FrancescoVeneziano ha scritto:è tra i libri che vengono distribuiti a Cesenatico.
Perché? A Cesenatico ti regalano dei libri?!? :o
Ai medagliati si ..
Rispondi