Minimizzare AP + BP + CP

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Pigkappa
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Minimizzare AP + BP + CP

Messaggio da Pigkappa » 31 dic 2008, 19:50

Consideriamo il seguente teorema di geometria euclidea:

Sia ABC un triangolo acutangolo. Il punto P interno al triangolo tale che la somma delle lunghezze $ \displaystyle AP + BP + CP $ sia minima è quello per cui gli angoli $ \displaystyle \angle APB $, $ \displaystyle \angle BPC $ e $ \displaystyle \angle CPA $ sono uguali a $ \displaystyle \pi/3 $.

Vogliamo ricavare una dimostrazione un po' fisica di questa cosa. Fatelo seguendo la traccia che vi dò.
Si prendano tre corpi puntiformi di massa uguale a m. Consideriamo un sistema di fili senza massa tale che ognuna delle tre masse sia collegata tramite un filo ad uno stesso punto (metto una figura in allegato). Adesso mettiamo il triangolo ABC su un tavolo e facciamo un buco in corrispondenza di ognuno dei 3 vertici. Andate avanti voi :D .
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pa
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Messaggio da pa » 01 gen 2009, 19:23

Facciamo passare le tre masse per i fori in modo tale che il nodo sia sopra il tavolo e le masse sotto e attendiamo che tutto si stabilizzi. Chiamiamo P il punto dove si trova il nodo.
Una volta raggiunto lo stato di equilibrio possiamo affermare due cose: l'energia potenziale totale e' minima e il nodo e' fermo.
Dal fatto che la somma delle energie potenziali delle masse sia minima ricaviamo che la somma delle lunghezze dei fili sopra il tavolo e' minima. Infatti se poniamo lo zero dell'energia potenziale all'altezza del tavolo $ U = mg(-h_a-h_b-h_c)=mg(-l_a+AP-l_b+BP-l_c+CP) $ con $ l_a, l_b, l_c $ le lunghezze dei fili. U e' minimo quando AP+BP+CP e' minimo.
Dal fatto che P e' fermo ricaviamo che gli angoli che formano i fili sono di 2/3$ \pi $. Infatti sul nodo agiscono solo le tensioni che tengono sospese le masse, ed essendo le masse uguali sono uguali. L'unica disposizione possibile di tre vettori uguali con somma 0 e quella con gli angoli di 120 gradi al centro.
paolo

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 02 gen 2009, 00:01

E non è molto bello questo problema? :D

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julio14
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Messaggio da julio14 » 02 gen 2009, 00:21

Bello bello :D
una goduria di soluzione... non mi sarei mai aspettato di vedere una cosa così matematica tirata fuori dal cappello fisico :D
"L'unica soluzione è (0;0;0)" "E chi te lo dice?" "Nessuno, ma chi se ne fotte"
[quote="Tibor Gallai"]Alla fine, anche le donne sono macchine di Turing, solo un po' meno deterministiche di noi.[/quote]
Non sono un uomo Joule!!!

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Messaggio da g(n) » 02 gen 2009, 17:28

:o :o :o Fantastico :D

Pig, l'hai pensato tu?

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mitchan88
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Messaggio da mitchan88 » 02 gen 2009, 18:48

Veramente geniale! :D
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Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 02 gen 2009, 19:30

g(n) ha scritto:Pig, l'hai pensato tu?
Magari :D . Era sul Morin.

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FrancescoVeneziano
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Messaggio da FrancescoVeneziano » 02 gen 2009, 23:52

Si trova anche in "Matematica per istantanee" (Mathematical snapshots) di Hugo Steinhaus, che se non sbaglio è tra i libri che vengono distribuiti a Cesenatico.
Ultima modifica di FrancescoVeneziano il 03 gen 2009, 14:42, modificato 1 volta in totale.
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.

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kn
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Messaggio da kn » 03 gen 2009, 14:17

FrancescoVeneziano ha scritto:è tra i libri che vengono distribuiti a Cesenatico.
Perché? A Cesenatico ti regalano dei libri?!? :o

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 03 gen 2009, 14:26

kn ha scritto:
FrancescoVeneziano ha scritto:è tra i libri che vengono distribuiti a Cesenatico.
Perché? A Cesenatico ti regalano dei libri?!? :o
Ai medagliati si ..

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