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Olifis Fase Nazionale 1998

Inviato: 17 dic 2008, 20:11
da Fedecart
Problema abbastanza istruttivo dato alle nazionali 10 anni fa. Al giorno d'oggi, vista l'inflazione, è molto se lo danno a Febbraio uno simile...

Su un sottile anello conduttore, di raggio R pari a 10 cm, è disposta una carica $ Q=+1.0 \mu C $. Un fascio di particelle uguali che hanno carica $ q=3.2*10^{-19}C $ viene lanciato da un punto P, posto sull'asse dell'anello, a distanza $ d=2.00m $ da questo. Il fascio è diretto lungo l'asse dell'anello. Si osserva che le particelle riescono a passare attraverso il centro O dell'anello solo se hanno velocità superiore a $ v=2.86*10^6 \frac{m}{s} $. Qual è la massa delle particelle?

Inviato: 18 dic 2008, 17:37
da Oblomov
Per caso la risposta ha qualcosa a che fare con
sì, buonanotte
?
No eh? Va bene, riprovo... ma a me non pare punto facile :shock:

Inviato: 18 dic 2008, 17:48
da Haile
Oblomov ha scritto:Per caso la risposta ha qualcosa a che fare con
6.681*10^17 kg
?
No eh? Va bene, riprovo... ma a me non pare punto facile :shock:
Particelle di massa $ $10^{17} ~ \mathbf{kg}$ $? :shock:

Inviato: 18 dic 2008, 18:07
da Oblomov
Un secondo, ho capito l'errore... bovinamente avevo preso per buono quel $ 10^{19} C, $ quando in realtà è $ 10^{-19} $. Andrebbe inoltre segnalato che la carica dell'anello è $ 1 \mu C $. Rifacendo così i calcoli trovo
6.68*10^{-27} kg
e andando a sbirciare scopro che ho trovato la risposta esatta con un metodo molto più brut(t)o (che posto quando ho tempo).

Saluti
Ob

Inviato: 18 dic 2008, 20:10
da quark
quindi c'è un errore nel testo del problema?

Inviato: 18 dic 2008, 20:14
da Haile
In effetti una particella con carica 10^19 C è un po' esagerata

Bene, Ob potresti postare la tua soluzione, allora?

Inviato: 18 dic 2008, 20:34
da Xalexalex
Senza fare alcun conto non è che magari esce fuori la massa di un nucleo di elio come risultato? :)

Inviato: 18 dic 2008, 21:05
da Oblomov
Mah, come ho detto è un po' bruttina.

Considero la particella a una distanza x dal centro dell'anello e trovo che
$ dF=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot q \frac{dl}{2 \pi R} \cdot \frac{cos(arctan(\frac{x}{R}))}{R^2+x^2} $dove dl è un "pezzullo" infinitesimo di anello e dF è la relativa forza, considerata lungo l'asse dell'anello (chiaramente la forza complessiva agisce lungo tale asse). Ora con opportuna semplificazione del coseno dell'arcotangente (vedi, sono di facile dimostrazione) e un'ovvia semplificazione della somma dei contributi infinitesimi ho $ F(x)=\frac{qx}{4 \pi \epsilon_0 (R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}} $ (il ragionamento è contorto? Forse, ma è come mi viene spontaneo). Il lavoro è dunque $ \displaystyle \int_{-2}^{0} F dx=\frac{q}{4 \pi \epsilon_0} \int_{0}^{2} \frac{x}{(R^2+x^2)^{\frac{3}{2}}} dx $. Ora vi risparmio la soluzione di questo integrale orrido (sempre che qualcuno non ne faccia richiesta), ma da qui in poi sono solo calcoli: inserisco il valore di R=0.1 e di q, pongo il tutto pari all'energia cinetica, risolvo in m e ho concluso.

La cena mi attende.
Ciao
Ob

Inviato: 18 dic 2008, 21:07
da Oblomov
Xalexalex ha scritto:Senza fare alcun conto non è che magari esce fuori la massa di un nucleo di elio come risultato? :)
Ora mi hai incuriosito: dì pure...

Inviato: 18 dic 2008, 21:32
da quark
si in effetti ero arrivato anch'io a quell'integrale, ma dato che non li ho ancora fatto ho lasciato perdere

Inviato: 18 dic 2008, 22:03
da Pigkappa
Sì ma dio santissimo, un po' di senso fisico... Avete imparato anche qualche metodo studiato apposta per evitare conti orribili, e sapete alcuni invarianti utili in molte situazioni... Non vi mettete a fare integrali brutti per problemi che si risolvono facilmente senza.

Inviato: 18 dic 2008, 22:17
da Fedecart
Ragazzi ora il testo è giusto... Scusatemi avevo litigato con il LaTex e non mi prendeva le formule!! Inoltre confermo il risultato di Oblomov, mi sembra sia quello giusto anche se non ho tempo ora di ricontrollare!
Comunque esiste una strada "elementare" senza integrali...! Elementare tra virgolette perchè è forse un po difficile arrivarci ma giuro il problema si risolve anche senza analisi! (almeno io l'ho risolto senza)

Inviato: 18 dic 2008, 22:38
da Rigel
Secondo me si può fare con la classica conservazione dell'energia e considerando che l'energia potenziale elettrica in un punto è $ $U=qV$ $ dove V è il potenziale in quel punto e q la carica che si muove.
Xalexalex ha scritto:Senza fare alcun conto non è che magari esce fuori la massa di un nucleo di elio come risultato? :)
Sì la massa e la carica sono proprio quelle di un nucleo di elio :D

Inviato: 18 dic 2008, 23:53
da Oblomov
Pigkappa ha scritto:Avete imparato anche qualche metodo studiato apposta per evitare conti orribili
Io no, ho fatto il classico :lol:

Inviato: 19 dic 2008, 15:33
da CoNVeRGe.
caspita, l'ho saputo fare (senza integrale) e mi son esaltato :D