SNS 2008/2009 problema 4

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Algebert
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SNS 2008/2009 problema 4

Messaggio da Algebert » 30 ago 2008, 11:38

Sono date quattro aste rigide di lunghezza $ \displaystyle L $ e massa uniformemente distribuita $ \displaystyle m $. Esse sono collegate l'una di seguito all'altra tramite dei giunti flessibili di peso e dimensioni trascurabili in modo da formare una catena, le cui estremità sono a loro volta attaccate, tramite gli stessi giunti, al soffitto di una stanza a una distanza $ $D = (1 + \sqrt{3})L$ $ tra di loro. Quale deve essere la minima altezza del soffitto della stanza per cui la catena, nella sua posizione di equilibrio, non tocca il pavimento?
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Evelynn
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Messaggio da Evelynn » 30 ago 2008, 17:30

In questo mi sono dichiaratamente inventata che la "risultante" di 2 aste attaccate, di cui una appesa al soffitto, dovesse essere inclinata di 45°.. E alla fine mi è risultato uno schifosissimo D/2..

Ho provato a ragionare con le tensioni, ma non sapevo dove andare a parare..
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caino
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Messaggio da caino » 30 ago 2008, 20:15

A me gli angoli sono venuti di 30 e 60 però ho fatto una marea di conti che non ho riportato completamente. Avrà il suo bel da fare chi dovrà correggerlo...

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Algebert
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Messaggio da Algebert » 30 ago 2008, 21:28

caino ha scritto:A me gli angoli sono venuti di 30 e 60 però ho fatto una marea di conti che non ho riportato completamente. Avrà il suo bel da fare chi dovrà correggerlo...
Anche a me veniva così, però forse ho assunto come nota una cosa che invece dovevo dimostrare :shock: .
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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 30 ago 2008, 21:29

Doveva essere fattibile tenendo conto di:
-simmetria
-risultante delle forze nulla
-momento nullo rispetto al giunto centrale-laterale.

Peccato che dall'ultima cosa a me sia venuto fuori $ \cos{\alpha}=3\cos{\beta} $ mentre era più logico che risultasse qualcosa tipo $ \tan{\alpha}=3\tan{\beta} $.

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Desh
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Messaggio da Desh » 31 ago 2008, 00:54

EUCLA ha scritto:Doveva essere fattibile tenendo conto di:
-simmetria
:D :D :D

supergrane
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Messaggio da supergrane » 31 ago 2008, 01:01

Le posizioni d'equilibrio sono tali che minimizzano l'energia potenziale del sistema.
il problema era simmetrico rispetto all'asse della retta che congiungeva i due ganci.
se si chiama x l'angolo formato dall'asta collegata al primo gancio col soffitto, l'angolo che formava la seconda col soffitto era univocamente determinato.
in funzione di x si scriveva la somma delle quote dei due baricentri,moltiplicata per mg, cioè l'energia potenziale totale.
la derivata di tale funzione si annullava in x=pi/3
:D :D :D

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Desh
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Messaggio da Desh » 31 ago 2008, 01:15

supergrane ha scritto:l'angolo che formava la seconda col soffitto era univocamente determinato.
Come?

supergrane
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Messaggio da supergrane » 31 ago 2008, 02:04

è l'unico angolo y tale che Lcosy + Lcosx = D/2

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Evelynn
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Messaggio da Evelynn » 01 set 2008, 08:46

Aspetta.. Stai dicendo che il triangolo formato dai due estremi di D e dal gancio centrale (quello che non doveva toccare terra) era equilatero, giusto?
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Desh
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Messaggio da Desh » 01 set 2008, 10:21

supergrane ha scritto:è l'unico angolo y tale che Lcosy + Lcosx = D/2
sì, non so perché te l'ho chiesto, l'ho usato nella soluzione. Ma poi ho sbagliato qualcsoa :roll:

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