SNS 2008/2009 problema 5

Meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, relatività, ...
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Algebert
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SNS 2008/2009 problema 5

Messaggio da Algebert » 29 ago 2008, 17:17

Un blocco di massa $ \displaystyle M $ e velocità iniziale $ \displaystyle V_0 $ urta una particella ferma di massa $ \displaystyle m \ll M $. Questa, messa in moto, urta contro un muro, torna indietro, urta di nuovo col blocco, cambia di nuovo direzione, poi urta di nuovo contro il muro e così via. Supponendo che tutti gli urti che avvengono siano perfettamente elastici e avvengano sempre sulla stessa retta, dimostrare che il numero di urti che intercorrono tra la particella e il blocco prima dell'arresto di quest'ultimo sono $ $n \approx \frac{\pi}{4}\sqrt{\frac{M}{m}}$ $.
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 29 ago 2008, 17:42

Ho spiegato come si fa il problema 1, invece su questo aspetto che si esprima qualcun altro (tra le soluzioni che mi sono state spiegate penso di aver capito solo quella di Mattia - si trova la velocità dopo l'ennesimo urto).

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Bacco
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Messaggio da Bacco » 30 ago 2008, 08:52

Questa soluzione forse non è molto olimpica (c'è un po' d'analisi), però dato che spesso questo tipo di cose all'ammissione spesso è richiesto la posto ugualmente, anche perchè è un metodo generale (derivata discreta) che può essere utile in mille situazioni.

Siano $ v_1(n),v_2(n) $ le velocità dopo l'urto n-esimo.

Noto che per la conservazione dell'energia è $ Mv_1^2(n)+mv_2^2(n)=MV_0^2, \forall n $.

Prima del prossimo urto, la massa $ m $ arriva al muro e cambia direzione della sua velocità. Quindi subito prima dell'(n+1)-esimo urto la velocità del centro di massa è $ v_{cm} (n,n+1)=\frac{Mv_1(n)-mv_2(n)}{M+m} $.

Dopo l'urto:
$ v_1(n+1)=2v_{cm} (n,n+1)-v_1 (n)= $
$ = \frac{M-m}{M+m} v_1(n)-2 \sqrt{\frac{mM}{(M+m)^2}(V_0^2 -v_1^2 (n)} $

Ora il passo fondamentale: se per ogni passo frena poco vale che
$ \frac{dv_1}{dn}=v_1(n+1)-v(n) $.
E' come se il numero di urti fosse il tempo. Nella approssimazione $ m/M<<1 $, ciò si riduce a:
$ \frac{dv}{dn}=-2\sqrt{m/M} \sqrt{V_0^2-v^2} $

Integrando una volta per separazione di variabili, cioè scrivendo $ \frac{dv}{\sqrt{V_0^2-v^2}}=-2\sqrt{m/M} dn $, e ricordando che la derivata dell'arcoseno è $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ si ha la tesi.

Ciao
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Evelynn
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Messaggio da Evelynn » 30 ago 2008, 17:33

Devo studiarmi bene 'sta cosa del centro di massa.. Mi suona molto utile..

Siccome il testo chiedeva "Siete capaci di dimostrare che..?" io volevo scriverci "Ma certo... che NO!" =D
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La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. (B. Russell)

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l'Apprendista_Stregone
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Messaggio da l'Apprendista_Stregone » 31 ago 2008, 01:06

Evelynn ha scritto: Siccome il testo chiedeva "Siete capaci di dimostrare che..?" io volevo scriverci "Ma certo... che NO!" =D
Ah bene:non sono stato l'unico a pensarlo! :D
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Desh
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Messaggio da Desh » 31 ago 2008, 01:14

l'Apprendista_Stregone ha scritto:
Evelynn ha scritto: Siccome il testo chiedeva "Siete capaci di dimostrare che..?" io volevo scriverci "Ma certo... che NO!" =D
Ah bene:non sono stato l'unico a pensarlo! :D
almeno in tre

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Goldrake
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Messaggio da Goldrake » 01 set 2008, 14:19

Bacco ha scritto: Dopo l'urto:
$ v_1(n+1)=2v_{cm} (n,n+1)-v_1 (n)= $
Ciao, purtroppo non mi spiego questo passaggio.
Non è che è possibile sapere cosa c'è dietro?

Grazie, per il resto è ok :wink:

Ciao!

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Bacco
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Messaggio da Bacco » 01 set 2008, 16:41

Nel sistema del centro di massa l'urto è banale: i corpi si limitano a cambiare il verso della velocità, ma non il suo modulo. Si vede subito, infatti, che ciò soddisfa sia la cons. della quantità di moto che quella dell'energia (per Konig, se si vuol essere precisi). La formula è semplicemente questo fatto riportato nel sistema di riferimento fisso: nel sist. del c.d.m. la nuova velocità è $ -(v_1(n)-v_{cm}(n,n+1) $, a cui va aggiunta la velocità di trascinamento che è $ v_{cm}(n,n+1) $.

Ciao
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