Ripassavo un pò la Gravitazione sull'Halliday quando mi trovo davanti a una dimostrazione già studiata in passato ma comunque mezzo scordata per via della sua complessità (almeno dato il mio livello di ignoranza).
Ve la propongo. Si tratta di dimostrare il primo Teorema dei Gusci, che dice "Un guscio sferico di densità uniforme attrae una particella esterna come se tutta la massa del guscio fosse concentrata al suo centro".
Premetto che è necessario conoscere un pò di analisi ed essere molto familiari con la trigonometria per farlo...
Buon Lavoro$ ^3 $
Problema Gravitazione, Difficile
Per il campo gravitazionaleiactor ha scritto:per il campo gravitazionale vale esattamente il teorema di gauss (se trascuri la relatività generale).
A questo punto tutte queste dimostrazioni diventano piuttosto facili.
?!?!Beh se è vero allora basta semplicemente applicarlo (come fa l'Halliday nella sezione di Elettromagnetismo).
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
Non lo sapevo!... Comunque aspetto una dimostrazione! Postatela ugualmente anche se l'avete già vista in passato, dato che è bella e istruttiva per tutti!iactor ha scritto:per il campo gravitazionale vale esattamente il teorema di gauss (se trascuri la relatività generale).
A questo punto tutte queste dimostrazioni diventano piuttosto facili.
Non è stato facile ricordarla, provo a postarla (non posso allegare la mia immagine cerco di farmi capire):
Consideriamo un guscio sferico di raggio R, massa M, densità uniforme $ \rho $, spessore $ d\ll R $ e un punto P di massa m a distanza r dal centro O.
-Le componenti che contano, simmetrie
Immaginando il guscio diviso in particelle di massa $ dm $ ognuna di esse darà contributo alla forza gravitazionale nel punto P. Qui gioca un ruolo molto importante la simmetria sferica. Consideriamo infatti un punto A di massa $ dm_A $ distante x da P, per la nota legge di gravitazione la forza è attrattiva e diretta lungo la congiungente. Se tuttavia consideriamo ora un punto B diametralmente opposto ad A questo attrae P con una forza la cui componente perpendicolare si annulla con la precedente forza. In pratica facendo il discorso per qualsiasi punto del guscio e considerando il punto diametralmente opposto si ha che nel punto P contano solo le componenti parallele della forza, quella diretta verso il centro O.
-Iniziando da una piccola striscia del guscio
Consideriamo ora una striscia circolare di massa $ dM $ e volume [ $ \theta $ rappresenta la variabile angolare con cui indico A sul guscio considerando l'asse polare OP]:
$ dV=(2\pi R\sin\theta)(Rd\theta)(d) $
1 parentesi= lunghezza, 2 parentesi=larghezza, 3 parentesi= spessore.
Se la forza attrattiva di A ha un angolo $ \varphi $ rispetto la congiungente OP, la forza attrattiva della striscia considerata sarà la somma di tutte le componenti parallele dei punti che la costituiscono:
$ dF_A=G\dfrac{m dm_A}{x^2}\cos\varphi\Rightarrow dF=G\dfrac{m dM}{x^2}\cos\varphi $
Dove naturalmente $ dM=\rho dV $
-Usando un pò di trigonometria
Nell'espressione di dF (che dovremo integrare) ci sono tre variabili che dipendono dalla scelta della striscia $ \theta, x, \varphi $. Dovendo averne solo una da poter integrare ed essendo dipendenti le une dalle altre scegliamo ad esempio di porre tutto in funzione di x. Nel triangolo OAP usando un pò la trigonometria si ottengono queste tre relazioni:
$ \cos\varphi=\dfrac{r-R\cos\theta}{x} $
$ R\cos\theta= \dfrac{r^2+R^2-x^2}{2r} $
$ R\sin\theta d\theta=\dfrac{x}{r}dx $
La prima ricavata con semplice geometria, la seconda usando il teorema del coseno e la terza semplicemente differenziando la seconda.
-Integriamo per tutte le striscie
Andiamo a sostituire le tre relazioni in dF:
$ dF=\left(\dfrac{Gm2\pi R\rho d}{x^2}\right)\left(R\sin\theta d\theta\right)\cos\varphi $$ =\left(\dfrac{Gm2\pi R\rho d}{x^2}\right)\left(\dfrac{x}{r}dx\right)\left(\dfrac{r}{x}-\dfrac{r^2+R^2-x^2}{2rx}\right) $
$ dF=\left(\dfrac{Gm2\pi R\rho d}{x^2}\right)\dfrac{dx}{r}\dfrac{r^2-R^2+x^2}{2r}= \dfrac{Gm\pi R\rho d}{r^2}\left(\dfrac{r^2-R^2}{x^2}+1\right)dx $
Integrando tale espressione per tutte le striscie otteniamo la forza totale. L'integrale dipende da x per cui gli estremi sono r-R per il punto più vicino a P e r+R per il punto più lontano (mi risparmio di svolgere l'integrale):
$ F=\displaystyle \int dF=\dfrac{Gm\pi R\rho d}{r^2}\int_{r-R}^{r+R} $$ \left(\dfrac{r^2-R^2}{x^2}+1\right)dx=\ldots=\dfrac{Gm\pi R\rho d}{r^2}4R $
Essendo tuttavia la massa del guscio $ M=\rho 4\pi R^2 d $ si ha:
$ \boxed{F=G\dfrac{mM}{r^2}} $
Usando Gauss è più facile. Per il campo gravitazionale tale teorema è:
$ \displaystyle \int_S \textbf{g}\cdot \textbf{n} dS=-4\pi G \int_V \rho dV $
Consideriamo un guscio sferico di raggio R, massa M, densità uniforme $ \rho $, spessore $ d\ll R $ e un punto P di massa m a distanza r dal centro O.
-Le componenti che contano, simmetrie
Immaginando il guscio diviso in particelle di massa $ dm $ ognuna di esse darà contributo alla forza gravitazionale nel punto P. Qui gioca un ruolo molto importante la simmetria sferica. Consideriamo infatti un punto A di massa $ dm_A $ distante x da P, per la nota legge di gravitazione la forza è attrattiva e diretta lungo la congiungente. Se tuttavia consideriamo ora un punto B diametralmente opposto ad A questo attrae P con una forza la cui componente perpendicolare si annulla con la precedente forza. In pratica facendo il discorso per qualsiasi punto del guscio e considerando il punto diametralmente opposto si ha che nel punto P contano solo le componenti parallele della forza, quella diretta verso il centro O.
-Iniziando da una piccola striscia del guscio
Consideriamo ora una striscia circolare di massa $ dM $ e volume [ $ \theta $ rappresenta la variabile angolare con cui indico A sul guscio considerando l'asse polare OP]:
$ dV=(2\pi R\sin\theta)(Rd\theta)(d) $
1 parentesi= lunghezza, 2 parentesi=larghezza, 3 parentesi= spessore.
Se la forza attrattiva di A ha un angolo $ \varphi $ rispetto la congiungente OP, la forza attrattiva della striscia considerata sarà la somma di tutte le componenti parallele dei punti che la costituiscono:
$ dF_A=G\dfrac{m dm_A}{x^2}\cos\varphi\Rightarrow dF=G\dfrac{m dM}{x^2}\cos\varphi $
Dove naturalmente $ dM=\rho dV $
-Usando un pò di trigonometria
Nell'espressione di dF (che dovremo integrare) ci sono tre variabili che dipendono dalla scelta della striscia $ \theta, x, \varphi $. Dovendo averne solo una da poter integrare ed essendo dipendenti le une dalle altre scegliamo ad esempio di porre tutto in funzione di x. Nel triangolo OAP usando un pò la trigonometria si ottengono queste tre relazioni:
$ \cos\varphi=\dfrac{r-R\cos\theta}{x} $
$ R\cos\theta= \dfrac{r^2+R^2-x^2}{2r} $
$ R\sin\theta d\theta=\dfrac{x}{r}dx $
La prima ricavata con semplice geometria, la seconda usando il teorema del coseno e la terza semplicemente differenziando la seconda.
-Integriamo per tutte le striscie
Andiamo a sostituire le tre relazioni in dF:
$ dF=\left(\dfrac{Gm2\pi R\rho d}{x^2}\right)\left(R\sin\theta d\theta\right)\cos\varphi $$ =\left(\dfrac{Gm2\pi R\rho d}{x^2}\right)\left(\dfrac{x}{r}dx\right)\left(\dfrac{r}{x}-\dfrac{r^2+R^2-x^2}{2rx}\right) $
$ dF=\left(\dfrac{Gm2\pi R\rho d}{x^2}\right)\dfrac{dx}{r}\dfrac{r^2-R^2+x^2}{2r}= \dfrac{Gm\pi R\rho d}{r^2}\left(\dfrac{r^2-R^2}{x^2}+1\right)dx $
Integrando tale espressione per tutte le striscie otteniamo la forza totale. L'integrale dipende da x per cui gli estremi sono r-R per il punto più vicino a P e r+R per il punto più lontano (mi risparmio di svolgere l'integrale):
$ F=\displaystyle \int dF=\dfrac{Gm\pi R\rho d}{r^2}\int_{r-R}^{r+R} $$ \left(\dfrac{r^2-R^2}{x^2}+1\right)dx=\ldots=\dfrac{Gm\pi R\rho d}{r^2}4R $
Essendo tuttavia la massa del guscio $ M=\rho 4\pi R^2 d $ si ha:
$ \boxed{F=G\dfrac{mM}{r^2}} $
Usando Gauss è più facile. Per il campo gravitazionale tale teorema è:
$ \displaystyle \int_S \textbf{g}\cdot \textbf{n} dS=-4\pi G \int_V \rho dV $
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