Non riesco a percorrere una strada sicura e a districarmi tra sistemi di riferimento.
Una fune ideale (inestensibile e di massa trascurabile) di lunghezza l = 12 m passa intorno ad una
carrucola (anch’essa ideale) con asse orizzontale e raggio R << l. Due scimmie, di uguale peso,
afferrano i due capi della fune alla stessa distanza l/2 dalla carrucola e iniziano
contemporaneamente ad arrampicarsi con accelerazioni costanti rispetto alla fune, rispettivamente
pari a a1 = 0.5 m/s2 e a2 = 1.0 m/s2.
Determinare i tempi t1 e t2 impiegati dalle due scimmie per raggiungere la carrucola.
Quello della fune non è inerziale, o si?
Due scimmie
Allora, quando la scimmia tenta di salire, quello che fa lo possiamo vedere come un tirare giù la corda, cioè esercitare una forza verso il basso.
Per l'equilibrio delle forze, sia $ a $ l'accelerazione del sistema corda+scimmie, $ a' $ l'accelerazione per la scimmia_1, $ a'' $ l'accelerazione per la scimmia_2. Considero positivo lo spostamento della corda verso destra al di sopra della carrucola.
$ 2ma=ma''-ma' $. Ma $ a''=g+a_2 $, $ a'=g+a_1 $.
Dunque $ 2a=g+a_2-g-a_1 \Rightarrow a=\displaystyle \frac{a_2-a_1}{2}>0 $.
Diciamo allora che dopo un tempo $ t_1 $ la scimmietta se ne arriva alla carrucola. Il punto $ A $ però, si è mosso di una distanza $ s=\displaystyle \frac{1}{2}at_1^2 $ facilitando il compito alla scimmia_1, il cui percorso si è accorciato di $ s $.
Per la scimmia: $ \displaystyle \frac{l}{2}-s=\frac{1}{2}a_1t_1^2 $ , da cui ottengo $ \displaystyle t_1=\sqrt{\frac{2l}{a_1+a_2}} $.
A questo punto sarebbe meglio che la scimmietta_1 puntasse una zampa contro la carrucola, per intendersi, non deve più far scivolare il filo, altrimenti rischia di fare una brutta fine.
Consideriamo $ t_2=t_1+t_x $.
Nel tempo $ t_x $ la scimmietta si muoverà con accelerazione $ a_2 $, dovendo percorrere uno spazio $ $ l-\bigg(\frac{l}{2}+s\bigg)-h_2 =\frac{1}{2}a_2t_x^2 $.
Dopo un pò di calcoli si trova $ $ t_x^2=\frac{l}{a_2}+\frac{a}{a_2}t_1^2-t_1^2 $ e se dovesse tornare qualche assurdo, tipo negativo, cosa che non ho voglia di controllare perchè mi toccherebbe cercare una calcolatrice, abbiamo sbagliato tutto e arrivava prima l'altra scimmia.
E' giusto?
Per l'equilibrio delle forze, sia $ a $ l'accelerazione del sistema corda+scimmie, $ a' $ l'accelerazione per la scimmia_1, $ a'' $ l'accelerazione per la scimmia_2. Considero positivo lo spostamento della corda verso destra al di sopra della carrucola.
$ 2ma=ma''-ma' $. Ma $ a''=g+a_2 $, $ a'=g+a_1 $.
Dunque $ 2a=g+a_2-g-a_1 \Rightarrow a=\displaystyle \frac{a_2-a_1}{2}>0 $.
Diciamo allora che dopo un tempo $ t_1 $ la scimmietta se ne arriva alla carrucola. Il punto $ A $ però, si è mosso di una distanza $ s=\displaystyle \frac{1}{2}at_1^2 $ facilitando il compito alla scimmia_1, il cui percorso si è accorciato di $ s $.
Per la scimmia: $ \displaystyle \frac{l}{2}-s=\frac{1}{2}a_1t_1^2 $ , da cui ottengo $ \displaystyle t_1=\sqrt{\frac{2l}{a_1+a_2}} $.
A questo punto sarebbe meglio che la scimmietta_1 puntasse una zampa contro la carrucola, per intendersi, non deve più far scivolare il filo, altrimenti rischia di fare una brutta fine.
Consideriamo $ t_2=t_1+t_x $.
Nel tempo $ t_x $ la scimmietta si muoverà con accelerazione $ a_2 $, dovendo percorrere uno spazio $ $ l-\bigg(\frac{l}{2}+s\bigg)-h_2 =\frac{1}{2}a_2t_x^2 $.
Dopo un pò di calcoli si trova $ $ t_x^2=\frac{l}{a_2}+\frac{a}{a_2}t_1^2-t_1^2 $ e se dovesse tornare qualche assurdo, tipo negativo, cosa che non ho voglia di controllare perchè mi toccherebbe cercare una calcolatrice, abbiamo sbagliato tutto e arrivava prima l'altra scimmia.
E' giusto?
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A me viene lo stesso risultato di EUCLA..che se avesse usato la calcolatrice penso avrebbe trovato $ t_x=0 $ 
infatti continuando i conti (sostituendo a e $ t_1 $) risulta che le scimmie arrivano nello stesso momento. Questo dipende dal fatto che si è supposto che entrambe le scimmie hanno la stessa massa altrimenti arriva prima (a quanto mi risulta) la scimmia che pesa di meno...
infatti continuando i conti (sostituendo a e $ t_1 $) risulta che le scimmie arrivano nello stesso momento. Questo dipende dal fatto che si è supposto che entrambe le scimmie hanno la stessa massa altrimenti arriva prima (a quanto mi risulta) la scimmia che pesa di meno...[img]http://img505.imageshack.us/img505/3149/551186929337sb7.png[/img]
Me lo illustri meglio? Più passo passo intendoEUCLA ha scritto:Per l'equilibrio delle forze, sia $ a $ l'accelerazione del sistema corda+scimmie, $ a' $ l'accelerazione per la scimmia_1, $ a'' $ l'accelerazione per la scimmia_2. Considero positivo lo spostamento della corda verso destra al di sopra della carrucola.
$ 2ma=ma''-ma' $. Ma $ a''=g+a_2 $, $ a'=g+a_1 $.
Si basa sull'equilibrio delle forze.
$ F_1 $ è la forza che esercita la scimmietta_1 sulla corda, $ F_2 $ è quella della scimmietta_2.
$ F_1=mg+ma_1, \ F_2=mg+ma_2 \rightarrow F_{net}=F_1-F_2 $
Se $ a $ è l'accelerazione del sistema $ F_{net}=(m+m)a=2ma $.
E' più chiaro ora? Probabilmente ti sfuggiva qualcosa di veramente ovvio
$ F_1 $ è la forza che esercita la scimmietta_1 sulla corda, $ F_2 $ è quella della scimmietta_2.
$ F_1=mg+ma_1, \ F_2=mg+ma_2 \rightarrow F_{net}=F_1-F_2 $
Se $ a $ è l'accelerazione del sistema $ F_{net}=(m+m)a=2ma $.
E' più chiaro ora? Probabilmente ti sfuggiva qualcosa di veramente ovvio