OliForum Matematico

Una barca in avaria (non è possibile utilizzare il
timone) si trova sulla riva di un fiume (punto A).
Il pilota deve portare la barca in B (sulla sponda
opposta, dritto davanti ad A) e non può virare
e la barca può andare and una velocità costante
v0 = 3 m/s. Determinare la direzione verso cui il pilota
deve fare viaggiare la barca sapendo che la corrente nel
fiume cresce linearmente dalle rive (dove è nulla) verso
il centro dove raggiunge il valore massimo di Vmax = 2
m/s. Determinare anche il punto dove andrebbe a
toccare la sponda opposta se la barca partisse in
direzione ortogonale alla riva.

Molto carino, ho due mie soluzioni, ma sulla seconda nutro qualche dubbio:
$ \sin(\alpha)= \frac{2}{3}, BC = \frac{5}{6}AB $, essendo C il punto d'arrivo sulla sponda opposta nel secondo caso.

Io l'ho fatto così (anche se ho dei dubbi sulla prima parte)...
1. Fisso gli assi cartesiani in modo che l'asse y passi per il punto di partenza della barca e sia perpendicolare al fiume (la cui larghezza è $ 2l $) e l'asse x sia parallelo alle rive e passi per il centro.
Se $ v_m $ è la massima velocità dell'acqua, si ha $ v(y)=v_m-k|y| $ dove $ $k=\frac{v_m}{l}$ $.
Ora scrivo le equazioni del moto per l'asse y
$ dy=v_o\cos\alpha dt $, cioè $ $dt=\frac{dy}{v_o\cos\alpha}$ $
Per l'asse x, le niche velocità sono quelle della barca e della corrente. inoltre la barca mantiene sempre la stessa direzione rispetto agli assi e quindi
$ dx=(v_o\sin\alpha-v(y))dt=(v_o\sin\alpha-v_m+k|y|)dt $
Ora sostituisco dt e ottengo $ $dx=\frac{v_o\sin\alpha-v_m+k|y|}{v_o\cos\alpha}dy$ $
Integrando da $ x_i $ a $ x_f $ e ricordando che deve essere $ x_i=x_f $ e che $ y_i=-l $ e $ y_f=l $ ho
$ $\int_{x_i}^{x_f}dx=\int_{y_i}^{y_f}{\tan\alpha-\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{k}{v_o\cos\alpha}|y|dy}$ $
$ $\int_{-l}^{l}{\tan\alpha}dy-\int_{-l}^{l}{\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}}dy+\int_{-l}^{l}{\frac{k}{v_o\cos\alpha}|y|}dy=0$ $
$ $2l\tan\alpha-2l\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{k}{v_o\cos\alpha}\frac{1}{2}(l^2-(-l^2)=0$ $
$ $2l\tan\alpha-2l\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{v_m}{lv_o\cos\alpha}l^2=0$ $
$ $2\tan\alpha=2\frac{v_m}{v_0\cos\alpha}-\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}$ $
$ $\sin\alpha=\frac{v_m}{2v_o}=\frac{2m/s}{2\cdot3m/s}=\frac{1}{3}$ $

Punto 2.
In questo caso le equazioni del moto sono
$ dy=v_0dt $
$ dx=v(y)dt $, cioè sostituendo $ $dx=\frac{v_m}{v_o}(1-\frac{|y|}{l})dy$ $
Integrando mi ricavo lo spostamento laterale $ s $
$ $s=\int_{-l}^{l}\frac{v_m}{v_o}(1-\frac{|y|}{l})dy=2l\frac{v_m}{v_o}-\frac{v_m}{v_o}\frac{l^2-(-l^2)}{2l}=\frac{4}{3}l-\frac{2}{3}l=\frac{2}{3}l$ $
cioé $ BC=\frac{1}{3}AB $
Scusate per il tanto (troppo!) Latex e per aver spezzato in due parti il procedimento... sperando di non averlo sbagliato

Scusa Ico, visto che mi pare che questo fosse un problema del Sant'Anna dell'anno scorso, mi puoi dire dove l'hai trovato?

E' un problema della ssc di qualche anno fa...
A proposito, sarebbe conveniente per tutti se magari si mettesse come oggetto da dove si prende (es. SSC 07/08). In tal modo è più facile per tutti cercarli...

Rigel ha scritto:Io l'ho fatto così (anche se ho dei dubbi sulla prima parte)...
1. Fisso gli assi cartesiani in modo che l'asse y passi per il punto di partenza della barca e sia perpendicolare al fiume (la cui larghezza è $ 2l $) e l'asse x sia parallelo alle rive e passi per il centro.
Se $ v_m $ è la massima velocità dell'acqua, si ha $ v(y)=v_m-k|y| $ dove $ $k=\frac{v_m}{l}$ $.
Ora scrivo le equazioni del moto per l'asse y
$ dy=v_o\cos\alpha dt $, cioè $ $dt=\frac{dy}{v_o\cos\alpha}$ $
Per l'asse x, le niche velocità sono quelle della barca e della corrente. inoltre la barca mantiene sempre la stessa direzione rispetto agli assi e quindi
$ dx=(v_o\sin\alpha-v(y))dt=(v_o\sin\alpha-v_m+k|y|)dt $
Ora sostituisco dt e ottengo $ $dx=\frac{v_o\sin\alpha-v_m+k|y|}{v_o\cos\alpha}dy$ $
Integrando da $ x_i $ a $ x_f $ e ricordando che deve essere $ x_i=x_f $ e che $ y_i=-l $ e $ y_f=l $ ho
$ $\int_{x_i}^{x_f}dx=\int_{y_i}^{y_f}{\tan\alpha-\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{k}{v_o\cos\alpha}|y|dy}$ $
$ $\int_{-l}^{l}{\tan\alpha}dy-\int_{-l}^{l}{\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}}dy+\int_{-l}^{l}{\frac{k}{v_o\cos\alpha}|y|}dy=0$ $
$ $2l\tan\alpha-2l\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{k}{v_o\cos\alpha}\frac{1}{2}(l^2-(-l^2)=0$ $
$ $2l\tan\alpha-2l\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{v_m}{lv_o\cos\alpha}l^2=0$ $
$ $2\tan\alpha=2\frac{v_m}{v_0\cos\alpha}-\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}$ $
$ $\sin\alpha=\frac{v_m}{2v_o}=\frac{2m/s}{2\cdot3m/s}=\frac{1}{3}$ $

....(per il punto 1) visto che la corrente del fiume cresce linearmente non si può supporre che mediamente la barca sia sottoposta alla corrente di 1 m/s?
(per non usare integrali ecc.)
in questo caso la componente sulla asse x della velocità iniziale deve bilanciare la corrente
$ $$\sin \alpha \cdot 3 \frac{m}{s} = 1 \frac{m}{s}$$ $
$ $$\sin \alpha = \frac {1}{3}$$ $

forse suppongo troppo....

Vero non ci avevo proprio pensato!
E io che ci ho scritto un romanzo quando c'è una soluzione molto più semplice!!
Ora che ci penso si può usare la velocità media anche per il punto 2, ottendendo $ 2l=v_0t $
$ $s=v_{media}t=\frac{2v_{media}l}{v_0}=\frac{2}{3}l$ $
Accidenti devo smetterla di perdere la testa dietro a soluzioni così lunghe e brutte

Punto 1

Sbaglio se dico che la traiettoria è una parabola con vertice per y=0?

Non dovresti sbagliare
Considerando gli assi cartesiani che ho fissato poco sopra, la traiettoria è una parabola con vertice sull'asse x e passante per $ (0, -l) $ e $ (0, l) $.
Forse dovrei dimostrarlo, ma per il momento non ne posso più dei calcoli

Rigel ha scritto:Non dovresti sbagliare
Considerando gli assi cartesiani che ho fissato poco sopra, la traiettoria è una parabola con vertice sull'asse x e passante per $ (0, -l) $ e $ (0, l) $.
Forse dovrei dimostrarlo, ma per il momento non ne posso più dei calcoli

Dunque, se per y=o si ha il vertice di questa parabola, la velocità in questo punto deve essere solamente lungo l'asse y, giusto? E dunque $ - v_{0} \sin(\theta) +2 = 0 $, da cui $ \sin(\theta) = \frac{2}{3} $, no? Dove sbaglio?

Il secondo risultato, invece, me lo attendevo come il tuo, per una questione di simmetria nel mio ragionamento; avrò sbagliato da qualche parte...

ico1989 ha scritto:

Rigel ha scritto:Non dovresti sbagliare
Considerando gli assi cartesiani che ho fissato poco sopra, la traiettoria è una parabola con vertice sull'asse x e passante per $ (0, -l) $ e $ (0, l) $.
Forse dovrei dimostrarlo, ma per il momento non ne posso più dei calcoli

Dunque, se per y=o si ha il vertice di questa parabola, la velocità in questo punto deve essere solamente lungo l'asse y, giusto? E dunque $ - v_{0} \sin(\theta) +2 = 0 $, da cui $ \sin(\theta) = \frac{2}{3} $, no? Dove sbaglio?

se la corrente non è costante neanche il vettore velocità della barca è costante...
nel tuo questo caso analizzi solo la situazione in un punto...cioè se la corrente è stabile a 2 m/s... .......se la barca fosse sottoposta sempre a 2 m/s di corrente allora sarebbe come dici tu...

Avevo pensato a questo, ma allora scrivere la velocità della barca lungo x in questo modo:

Rigel ha scritto:$ v_o\sin\alpha-v_m+k|y| $

è sbagliato?
Cioè, per y=0, si ha $ v_o\sin\alpha-v_m $, arrivando a quello che ho detto prima. Non riesco a capire questo.

Comunque, qual è la velocità della barca in quel punto?

ico1989 ha scritto:Avevo pensato a questo, ma allora scrivere la velocità della barca lungo x in questo modo:

Rigel ha scritto:$ v_o\sin\alpha-v_m+k|y| $

è sbagliato?
Cioè, per y=0, si ha $ v_o\sin\alpha-v_m $, arrivando a quello che ho detto prima. Non riesco a capire questo.

Comunque, qual è la velocità della barca in quel punto?

Si, penso che in quel punto sia come dici tu e con quel tipo di equazione trovi la velocità della barca in funzione di dove si trova rispetto al centro del fiume...

Timmo ha scritto:Si, penso che in quel punto sia come dici tu

Cioè $ \sin(\theta)= \frac{2}{3} $?