Una barca che va da sola... se sai farla andare!

Meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, relatività, ...
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ico1989
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Una barca che va da sola... se sai farla andare!

Messaggio da ico1989 » 09 ago 2008, 03:26

Una barca in avaria (non è possibile utilizzare il
timone) si trova sulla riva di un fiume (punto A).
Il pilota deve portare la barca in B (sulla sponda
opposta, dritto davanti ad A) e non può virare
e la barca può andare and una velocità costante
v0 = 3 m/s. Determinare la direzione verso cui il pilota
deve fare viaggiare la barca sapendo che la corrente nel
fiume cresce linearmente dalle rive (dove è nulla) verso
il centro dove raggiunge il valore massimo di Vmax = 2
m/s. Determinare anche il punto dove andrebbe a
toccare la sponda opposta se la barca partisse in
direzione ortogonale alla riva.

Molto carino, ho due mie soluzioni, ma sulla seconda nutro qualche dubbio:
$ \sin(\alpha)= \frac{2}{3}, BC = \frac{5}{6}AB $, essendo C il punto d'arrivo sulla sponda opposta nel secondo caso.

Rigel
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Messaggio da Rigel » 10 ago 2008, 15:26

Io l'ho fatto così (anche se ho dei dubbi sulla prima parte)...
1. Fisso gli assi cartesiani in modo che l'asse y passi per il punto di partenza della barca e sia perpendicolare al fiume (la cui larghezza è $ 2l $) e l'asse x sia parallelo alle rive e passi per il centro.
Se $ v_m $ è la massima velocità dell'acqua, si ha $ v(y)=v_m-k|y| $ dove $ $k=\frac{v_m}{l}$ $.
Ora scrivo le equazioni del moto per l'asse y
$ dy=v_o\cos\alpha dt $, cioè $ $dt=\frac{dy}{v_o\cos\alpha}$ $
Per l'asse x, le niche velocità sono quelle della barca e della corrente. inoltre la barca mantiene sempre la stessa direzione rispetto agli assi e quindi
$ dx=(v_o\sin\alpha-v(y))dt=(v_o\sin\alpha-v_m+k|y|)dt $
Ora sostituisco dt e ottengo $ $dx=\frac{v_o\sin\alpha-v_m+k|y|}{v_o\cos\alpha}dy$ $
Integrando da $ x_i $ a $ x_f $ e ricordando che deve essere $ x_i=x_f $ e che $ y_i=-l $ e $ y_f=l $ ho
$ $\int_{x_i}^{x_f}dx=\int_{y_i}^{y_f}{\tan\alpha-\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{k}{v_o\cos\alpha}|y|dy}$ $
$ $\int_{-l}^{l}{\tan\alpha}dy-\int_{-l}^{l}{\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}}dy+\int_{-l}^{l}{\frac{k}{v_o\cos\alpha}|y|}dy=0$ $
$ $2l\tan\alpha-2l\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{k}{v_o\cos\alpha}\frac{1}{2}(l^2-(-l^2)=0$ $
$ $2l\tan\alpha-2l\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{v_m}{lv_o\cos\alpha}l^2=0$ $
$ $2\tan\alpha=2\frac{v_m}{v_0\cos\alpha}-\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}$ $
$ $\sin\alpha=\frac{v_m}{2v_o}=\frac{2m/s}{2\cdot3m/s}=\frac{1}{3}$ $
Allegati
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Rigel
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Messaggio da Rigel » 10 ago 2008, 15:38

Punto 2.
In questo caso le equazioni del moto sono
$ dy=v_0dt $
$ dx=v(y)dt $, cioè sostituendo $ $dx=\frac{v_m}{v_o}(1-\frac{|y|}{l})dy$ $
Integrando mi ricavo lo spostamento laterale $ s $
$ $s=\int_{-l}^{l}\frac{v_m}{v_o}(1-\frac{|y|}{l})dy=2l\frac{v_m}{v_o}-\frac{v_m}{v_o}\frac{l^2-(-l^2)}{2l}=\frac{4}{3}l-\frac{2}{3}l=\frac{2}{3}l$ $
cioé $ BC=\frac{1}{3}AB $
Scusate per il tanto (troppo!) Latex :roll: e per aver spezzato in due parti il procedimento... sperando di non averlo sbagliato
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AndBand89
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Messaggio da AndBand89 » 10 ago 2008, 18:40

Scusa Ico, visto che mi pare che questo fosse un problema del Sant'Anna dell'anno scorso, mi puoi dire dove l'hai trovato? :wink:

oli89
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Messaggio da oli89 » 10 ago 2008, 19:38

E' un problema della ssc di qualche anno fa...
A proposito, sarebbe conveniente per tutti se magari si mettesse come oggetto da dove si prende (es. SSC 07/08). In tal modo è più facile per tutti cercarli...

Timmo
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Messaggio da Timmo » 10 ago 2008, 19:52

Rigel ha scritto:Io l'ho fatto così (anche se ho dei dubbi sulla prima parte)...
1. Fisso gli assi cartesiani in modo che l'asse y passi per il punto di partenza della barca e sia perpendicolare al fiume (la cui larghezza è $ 2l $) e l'asse x sia parallelo alle rive e passi per il centro.
Se $ v_m $ è la massima velocità dell'acqua, si ha $ v(y)=v_m-k|y| $ dove $ $k=\frac{v_m}{l}$ $.
Ora scrivo le equazioni del moto per l'asse y
$ dy=v_o\cos\alpha dt $, cioè $ $dt=\frac{dy}{v_o\cos\alpha}$ $
Per l'asse x, le niche velocità sono quelle della barca e della corrente. inoltre la barca mantiene sempre la stessa direzione rispetto agli assi e quindi
$ dx=(v_o\sin\alpha-v(y))dt=(v_o\sin\alpha-v_m+k|y|)dt $
Ora sostituisco dt e ottengo $ $dx=\frac{v_o\sin\alpha-v_m+k|y|}{v_o\cos\alpha}dy$ $
Integrando da $ x_i $ a $ x_f $ e ricordando che deve essere $ x_i=x_f $ e che $ y_i=-l $ e $ y_f=l $ ho
$ $\int_{x_i}^{x_f}dx=\int_{y_i}^{y_f}{\tan\alpha-\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{k}{v_o\cos\alpha}|y|dy}$ $
$ $\int_{-l}^{l}{\tan\alpha}dy-\int_{-l}^{l}{\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}}dy+\int_{-l}^{l}{\frac{k}{v_o\cos\alpha}|y|}dy=0$ $
$ $2l\tan\alpha-2l\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{k}{v_o\cos\alpha}\frac{1}{2}(l^2-(-l^2)=0$ $
$ $2l\tan\alpha-2l\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}+\frac{v_m}{lv_o\cos\alpha}l^2=0$ $
$ $2\tan\alpha=2\frac{v_m}{v_0\cos\alpha}-\frac{v_m}{v_o\cos\alpha}$ $
$ $\sin\alpha=\frac{v_m}{2v_o}=\frac{2m/s}{2\cdot3m/s}=\frac{1}{3}$ $
....(per il punto 1) visto che la corrente del fiume cresce linearmente non si può supporre che mediamente la barca sia sottoposta alla corrente di 1 m/s?
(per non usare integrali ecc.)
in questo caso la componente sulla asse x della velocità iniziale deve bilanciare la corrente
$ $$\sin \alpha \cdot 3 \frac{m}{s} = 1 \frac{m}{s}$$ $
$ $$\sin \alpha = \frac {1}{3}$$ $

forse suppongo troppo....

Rigel
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Messaggio da Rigel » 10 ago 2008, 20:03

Vero :oops: non ci avevo proprio pensato! :)
E io che ci ho scritto un romanzo quando c'è una soluzione molto più semplice!!
Ora che ci penso si può usare la velocità media anche per il punto 2, ottendendo $ 2l=v_0t $
$ $s=v_{media}t=\frac{2v_{media}l}{v_0}=\frac{2}{3}l$ $
Accidenti devo smetterla di perdere la testa dietro a soluzioni così lunghe e brutte :x
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ico1989
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Messaggio da ico1989 » 10 ago 2008, 20:26

Punto 1

Sbaglio se dico che la traiettoria è una parabola con vertice per y=0?

Rigel
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Messaggio da Rigel » 10 ago 2008, 20:55

Non dovresti sbagliare :)
Considerando gli assi cartesiani che ho fissato poco sopra, la traiettoria è una parabola con vertice sull'asse x e passante per $ (0, -l) $ e $ (0, l) $.
Forse dovrei dimostrarlo, ma per il momento non ne posso più dei calcoli :lol:
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ico1989
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Messaggio da ico1989 » 10 ago 2008, 21:04

Rigel ha scritto:Non dovresti sbagliare :)
Considerando gli assi cartesiani che ho fissato poco sopra, la traiettoria è una parabola con vertice sull'asse x e passante per $ (0, -l) $ e $ (0, l) $.
Forse dovrei dimostrarlo, ma per il momento non ne posso più dei calcoli :lol:
Dunque, se per y=o si ha il vertice di questa parabola, la velocità in questo punto deve essere solamente lungo l'asse y, giusto? E dunque $ - v_{0} \sin(\theta) +2 = 0 $, da cui $ \sin(\theta) = \frac{2}{3} $, no? Dove sbaglio?

Il secondo risultato, invece, me lo attendevo come il tuo, per una questione di simmetria nel mio ragionamento; avrò sbagliato da qualche parte...

Timmo
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Messaggio da Timmo » 11 ago 2008, 10:03

ico1989 ha scritto:
Rigel ha scritto:Non dovresti sbagliare :)
Considerando gli assi cartesiani che ho fissato poco sopra, la traiettoria è una parabola con vertice sull'asse x e passante per $ (0, -l) $ e $ (0, l) $.
Forse dovrei dimostrarlo, ma per il momento non ne posso più dei calcoli :lol:
Dunque, se per y=o si ha il vertice di questa parabola, la velocità in questo punto deve essere solamente lungo l'asse y, giusto? E dunque $ - v_{0} \sin(\theta) +2 = 0 $, da cui $ \sin(\theta) = \frac{2}{3} $, no? Dove sbaglio?
se la corrente non è costante neanche il vettore velocità della barca è costante...
nel tuo questo caso analizzi solo la situazione in un punto...cioè se la corrente è stabile a 2 m/s... .......se la barca fosse sottoposta sempre a 2 m/s di corrente allora sarebbe come dici tu...

ico1989
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Messaggio da ico1989 » 11 ago 2008, 14:31

Avevo pensato a questo, ma allora scrivere la velocità della barca lungo x in questo modo:
Rigel ha scritto:$ v_o\sin\alpha-v_m+k|y| $
è sbagliato?
Cioè, per y=0, si ha $ v_o\sin\alpha-v_m $, arrivando a quello che ho detto prima. Non riesco a capire questo.

Comunque, qual è la velocità della barca in quel punto?

Timmo
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Messaggio da Timmo » 12 ago 2008, 19:17

ico1989 ha scritto:Avevo pensato a questo, ma allora scrivere la velocità della barca lungo x in questo modo:
Rigel ha scritto:$ v_o\sin\alpha-v_m+k|y| $
è sbagliato?
Cioè, per y=0, si ha $ v_o\sin\alpha-v_m $, arrivando a quello che ho detto prima. Non riesco a capire questo.

Comunque, qual è la velocità della barca in quel punto?
Si, penso che in quel punto sia come dici tu e con quel tipo di equazione trovi la velocità della barca in funzione di dove si trova rispetto al centro del fiume... :)

ico1989
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Messaggio da ico1989 » 20 ago 2008, 17:30

Timmo ha scritto:Si, penso che in quel punto sia come dici tu
Cioè $ \sin(\theta)= \frac{2}{3} $?

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