OliForum Matematico

Un camion trasporta un barile di vino riempito fino a 2/3 della sua altezza h = 2 m (il barile ha base
circolare di raggio R = 1 m). Il camion viaggia ad una velocità di 50 Km/h. Dovendosi fermare ad
un incrocio, quanto prima deve iniziare a rallentare (si supponga la decelerazione costante) il
guidatore per non fare versare il vino visto che il barile è senza coperchio.

dai ragazzi...è un bel problema!

Tu come partiresti?

bisogna vedere l'angolo di inclinazione della superficie del fluido, a voi il resto!

oli89 ha scritto:bisogna vedere l'angolo di inclinazione della superficie del fluido, a voi il resto!

Si, questo l'ho letto pur io

Come l'hai impostato? Solo uno spunto, ché non mi viene

abbiamo due accelerazioni, quella dovuta alla frenata e quella di gravità. Calcoli l'angolo che forma la risultante delle accelerazioni, quindi...(a voi il resto)

Allora, non ricordo bene il mio risultato, ma mi sembra fosse $ $t = \frac{3v_{0}}{g}$ $.

A me viene un risultato diverso...
Possiamo trovare il tempo dalla relazione $ $ t= \frac{v_0}{a} $ , dove a è la decelerazione del veicolo; il valore massimo che può assumere a si ricava calcolando la risultante della forza di gravità su una particella sulla superficie di vino e dell'accelerazione del veicolo, che ha direzione orizzontale.
Poichè l'angolo massimo rispetto all'orizzontale che può raggiungere la superficie è $ $ \arctan \frac 23 $ , abbiamo che $ $\arctan \frac ag \le \arctan \frac 23 \longrightarrow a\le\frac 23 g $, da cui si ricava $ $ \boxed{ t=\frac{3v_0}{2g}} $ .
Secondo voi va bene?

A me esce un risultato simile a Davide, solo che per trovarmi l'angolo limite di inclinazione ho proceduto con calcoli sul volume, da cui esce che l'accelerazione massima è in modulo $ a = g \cdot \tan 33,8° $, e perciò $ t = 27, 43 s $, o giù di lì.
Mi chiedevo comunque se per il test di ammisione in Normale siano permesse le calcolatrici... (immagino di no, comunque)
In caso contrario l'unico modo per calcolare l'inclinazione massima è ricorrere a disuguaglianze come quella appunto di Davide.

la considerazione di base comunque e' che la risultante delle accelerazioni e' perperdicolare alla superficie no?

Ratio ha scritto:A me esce un risultato simile a Davide, solo che per trovarmi l'angolo limite di inclinazione ho proceduto con calcoli sul volume, da cui esce che l'accelerazione massima è in modulo $ a = g \cdot \tan 33,8° $ , e perciò $ t = 27, 43 s $ , o giù di lì.

Può darsi che le tue considerazioni sull'accelerazione massima siano più giuste delle mie...
Occhio però che $ 50 km/h = \frac{50}{3,6} m/s \approx 13,9 m/s $ , quindi il tuo risultato è di $ 2,12 s $ e il mio è di $ 2,13 s $ (se non sto sbagliando anch'io). [tra l'altro rileggendo il testo, forse con "quanto prima deve frenare" chiedeva lo spazio, che risulterebbe di circa $ 14,7 m $ ).
Però il mio $ \arctan \frac 23 $ dovrebbe essere un risultato esatto...
La forma che assume il vino con la superficie inclinata è quella di un cilindretto di base con sopra un cilindro tagliato con un piano passante per due punti opposti delle basi opposte, diciamo passante per una "diagonale massima" del cilindro, che quindi dovrebbe tagliare il cilindro esattamente a metà...
Ora il cilindretto di base ha altezza 2/3 m, mentre quello tagliato ha altezza 4/3 m. Dunque il volume totale risulta $ V= A_{base}\cdot \frac 13 h + \frac 12 (A_{base} \cdot \frac 23 h) = A_{base} \cdot \frac 23 h $ , che è esattamente il volume del testo.
Perciò l'angolo di inclinazione è $ \displaystile \arctan \frac{\frac 43}{2} =\arctan \frac 23 $ .

Tu come avevi ragionato?

Ratio ha scritto:Mi chiedevo comunque se per il test di ammisione in Normale siano permesse le calcolatrici... (immagino di no, comunque)

Tendenzialmente no, se non ricordo male ci sono alcune calcolatrici non scientifiche disponibili alla cattedra.

Ma normalmente non è che serva a molto (per math/fisica)

Occhio però che $ 50 km/h = \frac{50}{3,6} m/s \approx 13,9 m/s $ , quindi il tuo risultato è di $ 2,12 s $ e il mio è di $ 2,13 s $

Giusto!

Tu come avevi ragionato?

Io ho semplicemente calcolato il volume del vino nello stato iniziale (per questo dicevo che per la mia soluzione era necessaria una calcolatrice), e risulta perciò $ V=\frac{4}{3}\pi \approx 4,18 m^3 $. Ora dobbiamo ridistribuire lo stesso volume, come hai detto già te, in un cilindretto pieno e in uno tagliato a metà che arriva fino al bordo del barile. Per conoscere l'inclinazione dividiamo l'altezza in $ x $ e $ h-x $ e ci ricaviamo $ x $ dall'equazione $ 4,18 = A_{base} \cdot x + \frac{1}{2} A_{base}\cdot(h-x) $, ovvero $ x \approx 0,66 $. Abbiamo perciò che la massima inclinazione è $ \theta=\arctan \frac{h-x}{2R} \approx 33,8° $. L'accelerazione è perciò appunto $ a = g \cdot \tan 33,8° \approx 6,56 m/s^2 $.
Del tuo ragionamento non mi è chiaro come fai a dire che $ x=2/3 m $ senza usare un'equazione.

EDIT: correzioni LaTeX

Mentalmente ho usato la tua stessa equazione, se per il volume al posto di $ 4,18 $ lasci $ $ \frac 43 $ ottieni lo stesso identico risultato, e si può fare a mano senza calcolatrice