Non so, per esempio poni a contatto il sistema con un corpo carico positivamente: alcuni elettroni del sistema si spostano sul corpo carico e sul sitema risulta una carica netta positiva.
Comunque sia, tu fai che da un certo istante in poi il sistema sia carico, poi a caricarlo ci pensa chi ha ideato il problema
(Almeno io così l'ho inteso)
Dunque, il disco e il piano si respingono, possedendo una carica dello stesso segno.
Il campo elettrico E in punto prossimità della superficie del piano conduttore è perpendicolare alla superficie e d'intensità: $ $E = \frac{\sigma_{piano}}{\epsilon_{0}}$ $, essendo sigma la densità superficiale di carica del piano in quel punto.
Sul disco, in corrispondenza di questo punto, una carica dq è soggetta ad una forza elettrica di repulsione d'intensità: $ $ dF = dq E$ $. dq è data dal prodotto della densità superficiale di carica del disco per l'area che questa carica occupa sul disco stesso: $ $ dF = E \sigma_{disco}dA $ $
Ora, data la simmetria piana del sistema, si può supporre che la densità superficiale di carica sia costante sia per il piano che per il disco. Inoltre, per lo stesso motivo, non vedo ragione perché non debba essere $ \sigma_{piano} = \sigma_{disco} = \sigma $
Allora, integrando l'equazione precedente si ha:
$ $\int dF = \int E \sigma_{disco}dA = \int \frac{\sigma_{piano}}{\epsilon_{0}} \sigma_{disco} dA = $ $
$ $= \frac{\sigma_{piano}}{\epsilon_{0}} \sigma_{disco} \int dA = \frac{\sigma_{piano}}{\epsilon_{0}} \sigma_{disco} A = $ $
$ $ = \frac{\sigma^2}{\epsilon_{0}} A = F$ $.
Deve quindi essere F - mg = 0, dove g è l'accelerazione del campo di gravità. Abbiamo allora $ $ \frac{\sigma^2}{\epsilon_{0}} A = mg$ $
$ $ \sigma = \pm \sqrt{\epsilon_{0} \frac{mg}{A}}$ $
Se vogliamo, $ $\sigma = \pm \sqrt{\epsilon_{0} p}$ $ dove p è, in assenza di carica, la pressione del disco sul piano dovuta alla gravità
Non so se si trova, ma mi sembra ragionevole come procedimento
