Condensatore e un pò di dielettrico

[ico1989]

Determinare in percentuale di quanto varia l’energia di un
condensatore piano (con armature quadrate di lato L) se
viene riempito parzialmente, per un tratto x=L/4, da una
lastra la cui costante dielettrica relativa è εr=10.

[EUCLA]

Edit: Ho rivisto il procedimento, e non sono più tanto convinta

La regione di spazio interessata dal campo ha sezione $ L^2 $.
La regione di spazio in cui il campo è influenzato dall'immissione della lastra ha sezione $ \displaystyle \frac{L^2}{16} $.

Dunque, $ \displaystyle \frac{15}{16} $ del campo rimangono inalterati dall'immissione della lastra.
Sia $ U $ l'energia potenziale in assenza della lastra.
Cosa succede all'energia potenziale dove c'è la lastra?

Sappiamo che la capacità del condensatore è espressa da $ C=\displaystyle \frac{S\cdot \varepsilon _0\varepsilon _r}{d} $ dove $ C=\displaystyle \frac{Q}{\Delta V} $ essendo $ U=Q\Delta V $.
Quindi, $ \displaystyle \frac{S\cdot \varepsilon _0\varepsilon _r}{d}=\frac{Q^2}{U} \rightarrow U=\frac{Q^2d}{S\cdot \varepsilon _0\varepsilon _r} $.

In condizioni normali invece $ U=\displaystyle \frac{Q^2d}{S\cdot \varepsilon _0} $.

Con la lastra quindi, sostituendo $ \varepsilon _r=10 $, si ha $ U_{r}=\displaystyle \frac{Q^2d}{\frac{15}{16}S\cdot \varepsilon _0}+\frac{Q^2d}{\frac{S}{16}\cdot \varepsilon _0\varepsilon _r}=\frac{16Q^2d}{S\cdot \varepsilon _0}\bigg(\frac{1}{15}+\frac{1}{10}\bigg)=\frac{16Q^2d}{6S\cdot \varepsilon _0}= $ $ \displaystyle \frac{8Q^2d}{3S\cdot \varepsilon _0}= $ $ \displaystyle \frac{8}{3}U $

Dunque $ \displaystyle \Delta U=\frac{8}{3}U-U=\frac{5}{3}U $ che in percentuale è il$ 166\% $ .

[Algebert]

Sappiamo che la capacità del condensatore è espressa da $ C=\displaystyle \frac{\varepsilon _0\varepsilon _r}{A} $ dove $ C=\displaystyle \frac{Q}{\Delta V} $ essendo $ U=Q\Delta V $.

EUCLA la capacità di un condensatore piano non è $ $C = \varepsilon_0\varepsilon_r\frac {S}{d}$ $, dove $ \displaystyle S $ è la superficie delle armature e $ \displaystyle d $ è la distanza tra di esse ?

[oli89]

a me viene una variazione del 69%, a chi viene così?

[EUCLA]

EUCLA la capacità di un condensatore piano non è $ $C = \varepsilon_0\varepsilon_r\frac {S}{d}$ $, dove $ \displaystyle S $ è la superficie delle armature e $ \displaystyle d $ è la distanza tra di esse ?

Effettivamente hai ragione, e sta scritto così anche sul foglio dove ho fatto l'esercizio, almeno all'inizio
Provvedo a correggere, grazie

[ico1989]

a me viene una variazione del 69%, a chi viene così?

A me la variazione è del $ - 22,5 $%. Un $ -67,5 $% mi esce se si riempo il condensatore per una lunghezza di $ \frac{3}{4}L $, cioè l'altra parte, la complementare a quella citata nel testo del problema.

Per valutare la variazione ho fatto $ \frac{\Delta U}{U} $, espressa in percentuale.
In effetti, un 68% mi sembra eccessivo, valutando che solo "un quarto" del condensatore viene modificato. Ma forse mi sbaglio.

Edit: Comunque, valutando, bisogna tener comunque conto di $ \epsilon_{r} $. Non troppo giusta la mia motivazione credo, quindi.

[oli89]

rivedo i calcoli ed eventuali errori...vi farò sapere!

[EUCLA]

Scusate un attimo eh, perchè non postate un pò il procedimento?
Sembra di stare a giocare al lotto

[Algebert]

EDIT: procedimento sbagliato. Per quello giusto guardate il mio ultimo post in questo topic poco sotto .


OK rispondo alla richiesta di EUCLA e posto il mio procedimento.
Essendo $ $C = \varepsilon\frac{S}{d}$ $ la capacità del condensatore piano e $ $U = \frac{1}{2}CV^2$ $ l'energia immagazzinata in esso, abbiamo all'inizio che:

$ $U_i = \frac{1}{2}\varepsilon_0\frac{L^2}{d}V^2$ $

Dopo che la lastra viene inserita, l'energia totale invece diventa:

$ $U_f = \frac{1}{2}\varepsilon_0\frac{3}{4}\frac{L^2}{d}V^2 + \frac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{1}{4}\frac{L^2}{d}V^2 = \frac{13}{4}U_i$ $

dato che la differenza di potenziale elettrico tra le armature non cambia dopo l'inserimento del dielettrico. Perciò la variazione è uguale a:

$ $\Delta U = U_f - U_i = \frac{9}{4}U_i$ $

che espressa in percentuale diventa:

$ $\Delta U_\% = \frac{\Delta U}{U_i} \cdot 100 = 225\%$ $

Tuttavia c'è da dire che il testo di ico1989 non è molto chiaro: non si capisce infatti se il dielettrico viene immerso in modo tale da occupare un rettangolo di lati $ \displaystyle L $ e $ \displaystyle \frac{L}{4} $ (come ho inteso io), oppure in modo tale da occupare un quadratino di lato $ \displaystyle \frac{L}{4} $, così da influenzare dunque solo $ \displaystyle \frac{1}{16} $ della superficie del condensatore (come ha inteso EUCLA). Se ragiono considerando quest'ultima evenienza, la variazione percentuale mi viene circa del 56%. Chi ha ragione ?

[EUCLA]

$ $U = \frac{1}{2}CV^2$ $

Scusa l'ignoranza.. questa da dove la ricavi?

[Algebert]

$ $U = \frac{1}{2}CV^2$ $

Scusa l'ignoranza.. questa da dove la ricavi?

Per definizione l'energia immagazzinata all'interno di un condensatore è $ $U = \frac{1}{2}QV$ $ (corrisponde a nient'altro che l'area del triangolo nel piano cartesiano con $ \displaystyle Q $ sulle ascisse e $ \displaystyle V $ sulle ordinate). Essendo, anche questo per definizione, $ \displaystyle C = \frac{Q}{V} $, sostituendo ricaviamo la formula sopra citata . E' una cosa che si trova su un qualunque libro delle superiori.
Spero di esserti stato d'aiuto !

[EUCLA]

E' una cosa che si trova su un qualunque libro delle superiori.

Ok, mi dò all'ippica!

Spero di esserti stato d'aiuto !

Senz'altro, apparte lo scoraggiamento, ho imparato qualcosa di nuovo
Grazie!

[Desh]

Per definizione

non direi proprio che sia "per definizione"

[ico1989]

se il dielettrico viene immerso in modo tale da occupare un rettangolo di lati $ \displaystyle L $ e $ \displaystyle \frac{L}{4} $ (come ho inteso io)

Decisamente così credo, almeno io l'ho subito inteso in questo modo.

dato che la differenza di potenziale elettrico tra le armature non cambia dopo l'inserimento del dielettrico.

Qui c'è uno sbaglio, poichè la differenzia di potenziale della parte di condensatore interessata dal dielettrico cambia. Infatti, in quella zona, all'inizio la differenza di potenziale è:

$ $ - \frac{\Delta V}{d} = E $ $

Dopo l'inserimento del dielettrico il campo varia e diventa:

$ $ E' = \frac{\sigma}{\epsilon_{r} \epsilon_{0}} = \frac{E}{\epsilon_{r}} $ $

e la nuova differenza di potenziale è:

$ $ \Delta V' = \frac{\Delta V}{\epsilon_{r}} $ $

La distanza $ d $ tra le armature non varia, e non varia la carica sulle armatura della zona interessata, essendo il sistema isolato (dunque non varia $ \sigma $).

D'altra parte, essendo Q = CV, se varia C, deve variare anche V, essendo la carica costante, come detto.



Un suggerimento è quello di "spaccare" il condensatore in due condensatori in parallelo, così che il sistema sia equivalente a quello dato (si dimostra facilmente) e poi agire solo su quel condensatore tra i due che viene riempito col dielettrico.
Infatti, le formule che riguardano condensatori con dielettrici si riferiscono solo al caso in cui il dielettrico occupa tutto il volume tra le armature. Così, almeno, specifica l'Halliday

[Algebert]

dato che la differenza di potenziale elettrico tra le armature non cambia dopo l'inserimento del dielettrico.

Qui c'è uno sbaglio, poichè la differenzia di potenziale della parte di condensatore interessata dal dielettrico cambia.

Accidenti , hai perfettamente ragione! Come diavolo ho fatto a dimenticarmelo ? Ok, questo vuol dire ristudio totale e immediato dell'Elettromagnetismo sull'Halliday !
Lasciando perdere le idiozie, adesso il mio procedimento dovrebbe essere giusto.
Di nuovo, l'energia del condensatore all'inizio vale $ $U_0 = \frac{1}{2}\varepsilon_0\frac{L^2}{d}V_0^2$ $, dove $ \displaystyle V_0 $ è la differenza di potenziale iniziale tra le armature.
Dopo l'inserimento del dielettrico, la differenza di potenziale diventa (proprio come mi ha fatto notare ico1989 ) $ $V_1 = \frac{V_0}{\varepsilon_r}$ $, e di conseguenza, ragionando allo stesso modo di prima, cambia l'energia immagazzinata tra le piastre del condensatore:

$ $U_1 = \frac{3}{8}\varepsilon_0\frac{L^2}{d}V_0^2 + \frac{1}{8}\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{L^2}{d}\frac{V_0^2}{\varepsilon_r^2} = \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{40} \right)U_0 = \frac{31}{40}U_0$ $

La variazione perciò è:

$ $\Delta U = U_1 - U_0 = \left (\frac{31}{40} - 1 \right )U_0 = -\frac{9}{40}U_0$ $

ovvero, espressa in termini percentuali:

$ $\Delta U_\% = \frac{\Delta U}{U_0} \cdot 100 = -22,5 \%$ $

Ovviamente il segno meno significa che l'energia diminuisce dopo l'inserimento del dielettrico.
A quanto pare il risultato coincide con quello di ico1989 (a proposito, grazie per aver corretto il mio strafalcione ); il mio metodo di ragionamento era dunque corretto, tuttavia mi sono clamorosamente dimenticato del "piccolo dettaglio" della differenza di potenziale tra le piastre prima e dopo l'inserimento della lastra .

E' una cosa che si trova su un qualunque libro delle superiori.

Ok, mi dò all'ippica!

Guarda EUCLA se la cosa ti può consolare tutto quello che so di fisica per il 95% me lo sono imparato da autodidatta; nonostante abbia avuto al triennio un buon libro (l'Amaldi) e un ottimo professore di fisica, le sue lezioni (forse a causa anche del corso a cui appartenevo, certamente non il più quotato ) non mi hanno mai dato lo stimolo per approfondire gli argomenti da lui spiegati di volta in volta. Poco (anzi, quasi nulla) problem solving, interrogazioni dove bastava ripetere mnemonicamente (direi anche meccanicamente) nozioni teoriche e dimostrazioni, compiti in classe a crocette (che a mio parere sono un autentico insulto all'intelligenza di noi studenti) mi hanno sempre reso insopportabili le sue lezioni.