Condensatore e un pò di dielettrico

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ico1989
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Condensatore e un pò di dielettrico

Messaggio da ico1989 » 06 ago 2008, 19:56

Determinare in percentuale di quanto varia l’energia di un
condensatore piano (con armature quadrate di lato L) se
viene riempito parzialmente, per un tratto x=L/4, da una
lastra la cui costante dielettrica relativa è εr=10.

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 08 ago 2008, 19:14

Edit: Ho rivisto il procedimento, e non sono più tanto convinta :?

La regione di spazio interessata dal campo ha sezione $ L^2 $.
La regione di spazio in cui il campo è influenzato dall'immissione della lastra ha sezione $ \displaystyle \frac{L^2}{16} $.

Dunque, $ \displaystyle \frac{15}{16} $ del campo rimangono inalterati dall'immissione della lastra.
Sia $ U $ l'energia potenziale in assenza della lastra.
Cosa succede all'energia potenziale dove c'è la lastra?

Sappiamo che la capacità del condensatore è espressa da $ C=\displaystyle \frac{S\cdot \varepsilon _0\varepsilon _r}{d} $ dove $ C=\displaystyle \frac{Q}{\Delta V} $ essendo $ U=Q\Delta V $.
Quindi, $ \displaystyle \frac{S\cdot \varepsilon _0\varepsilon _r}{d}=\frac{Q^2}{U} \rightarrow U=\frac{Q^2d}{S\cdot \varepsilon _0\varepsilon _r} $.

In condizioni normali invece $ U=\displaystyle \frac{Q^2d}{S\cdot \varepsilon _0} $.

Con la lastra quindi, sostituendo $ \varepsilon _r=10 $, si ha $ U_{r}=\displaystyle \frac{Q^2d}{\frac{15}{16}S\cdot \varepsilon _0}+\frac{Q^2d}{\frac{S}{16}\cdot \varepsilon _0\varepsilon _r}=\frac{16Q^2d}{S\cdot \varepsilon _0}\bigg(\frac{1}{15}+\frac{1}{10}\bigg)=\frac{16Q^2d}{6S\cdot \varepsilon _0}= $ $ \displaystyle \frac{8Q^2d}{3S\cdot \varepsilon _0}= $ $ \displaystyle \frac{8}{3}U $

Dunque $ \displaystyle \Delta U=\frac{8}{3}U-U=\frac{5}{3}U $ che in percentuale è il$ 166\% $ :shock: .
Ultima modifica di EUCLA il 08 ago 2008, 21:00, modificato 3 volte in totale.

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Messaggio da Algebert » 08 ago 2008, 20:05

EUCLA ha scritto:Sappiamo che la capacità del condensatore è espressa da $ C=\displaystyle \frac{\varepsilon _0\varepsilon _r}{A} $ dove $ C=\displaystyle \frac{Q}{\Delta V} $ essendo $ U=Q\Delta V $.
EUCLA la capacità di un condensatore piano non è $ $C = \varepsilon_0\varepsilon_r\frac {S}{d}$ $, dove $ \displaystyle S $ è la superficie delle armature e $ \displaystyle d $ è la distanza tra di esse :? ?
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."

oli89
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Messaggio da oli89 » 08 ago 2008, 20:10

a me viene una variazione del 69%, a chi viene così?

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Messaggio da EUCLA » 08 ago 2008, 20:39

Algebert ha scritto: EUCLA la capacità di un condensatore piano non è $ $C = \varepsilon_0\varepsilon_r\frac {S}{d}$ $, dove $ \displaystyle S $ è la superficie delle armature e $ \displaystyle d $ è la distanza tra di esse :? ?
Effettivamente hai ragione, e sta scritto così anche sul foglio dove ho fatto l'esercizio, almeno all'inizio :?
Provvedo a correggere, grazie :wink:

ico1989
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Messaggio da ico1989 » 09 ago 2008, 00:27

oli89 ha scritto:a me viene una variazione del 69%, a chi viene così?
A me la variazione è del $ - 22,5 $%. Un $ -67,5 $% mi esce se si riempo il condensatore per una lunghezza di $ \frac{3}{4}L $, cioè l'altra parte, la complementare a quella citata nel testo del problema.

Per valutare la variazione ho fatto $ \frac{\Delta U}{U} $, espressa in percentuale.
In effetti, un 68% mi sembra eccessivo, valutando che solo "un quarto" del condensatore viene modificato. Ma forse mi sbaglio.

Edit: Comunque, valutando, bisogna tener comunque conto di $ \epsilon_{r} $. Non troppo giusta la mia motivazione credo, quindi.
Ultima modifica di ico1989 il 09 ago 2008, 13:15, modificato 1 volta in totale.

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Messaggio da oli89 » 09 ago 2008, 09:08

rivedo i calcoli ed eventuali errori...vi farò sapere! :D

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Messaggio da EUCLA » 09 ago 2008, 10:10

Scusate un attimo eh, perchè non postate un pò il procedimento?
Sembra di stare a giocare al lotto :lol:

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Messaggio da Algebert » 09 ago 2008, 10:47

EDIT: procedimento sbagliato. Per quello giusto guardate il mio ultimo post in questo topic poco sotto :) .


OK rispondo alla richiesta di EUCLA e posto il mio procedimento.
Essendo $ $C = \varepsilon\frac{S}{d}$ $ la capacità del condensatore piano e $ $U = \frac{1}{2}CV^2$ $ l'energia immagazzinata in esso, abbiamo all'inizio che:

$ $U_i = \frac{1}{2}\varepsilon_0\frac{L^2}{d}V^2$ $

Dopo che la lastra viene inserita, l'energia totale invece diventa:

$ $U_f = \frac{1}{2}\varepsilon_0\frac{3}{4}\frac{L^2}{d}V^2 + \frac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{1}{4}\frac{L^2}{d}V^2 = \frac{13}{4}U_i$ $

dato che la differenza di potenziale elettrico tra le armature non cambia dopo l'inserimento del dielettrico. Perciò la variazione è uguale a:

$ $\Delta U = U_f - U_i = \frac{9}{4}U_i$ $

che espressa in percentuale diventa:

$ $\Delta U_\% = \frac{\Delta U}{U_i} \cdot 100 = 225\%$ $

Tuttavia c'è da dire che il testo di ico1989 non è molto chiaro: non si capisce infatti se il dielettrico viene immerso in modo tale da occupare un rettangolo di lati $ \displaystyle L $ e $ \displaystyle \frac{L}{4} $ (come ho inteso io), oppure in modo tale da occupare un quadratino di lato $ \displaystyle \frac{L}{4} $, così da influenzare dunque solo $ \displaystyle \frac{1}{16} $ della superficie del condensatore (come ha inteso EUCLA). Se ragiono considerando quest'ultima evenienza, la variazione percentuale mi viene circa del 56%. Chi ha ragione :? ?
Ultima modifica di Algebert il 10 ago 2008, 18:11, modificato 4 volte in totale.
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Messaggio da EUCLA » 09 ago 2008, 10:53

Algebert ha scritto: $ $U = \frac{1}{2}CV^2$ $
Scusa l'ignoranza.. questa da dove la ricavi?

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Messaggio da Algebert » 09 ago 2008, 11:04

EUCLA ha scritto:
Algebert ha scritto: $ $U = \frac{1}{2}CV^2$ $
Scusa l'ignoranza.. questa da dove la ricavi?
Per definizione l'energia immagazzinata all'interno di un condensatore è $ $U = \frac{1}{2}QV$ $ (corrisponde a nient'altro che l'area del triangolo nel piano cartesiano con $ \displaystyle Q $ sulle ascisse e $ \displaystyle V $ sulle ordinate). Essendo, anche questo per definizione, $ \displaystyle C = \frac{Q}{V} $, sostituendo ricaviamo la formula sopra citata :) . E' una cosa che si trova su un qualunque libro delle superiori.
Spero di esserti stato d'aiuto :wink: !
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Messaggio da EUCLA » 09 ago 2008, 11:13

Algebert ha scritto:E' una cosa che si trova su un qualunque libro delle superiori.
Ok, mi dò all'ippica!
Algebert ha scritto: Spero di esserti stato d'aiuto :wink: !
Senz'altro, apparte lo scoraggiamento, ho imparato qualcosa di nuovo :)
Grazie!

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Messaggio da Desh » 09 ago 2008, 11:50

Algebert ha scritto:Per definizione
non direi proprio che sia "per definizione" :shock:

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Messaggio da ico1989 » 09 ago 2008, 13:06

Algebert ha scritto:se il dielettrico viene immerso in modo tale da occupare un rettangolo di lati $ \displaystyle L $ e $ \displaystyle \frac{L}{4} $ (come ho inteso io)
Decisamente così credo, almeno io l'ho subito inteso in questo modo.

Algebert ha scritto:dato che la differenza di potenziale elettrico tra le armature non cambia dopo l'inserimento del dielettrico.
Qui c'è uno sbaglio, poichè la differenzia di potenziale della parte di condensatore interessata dal dielettrico cambia. Infatti, in quella zona, all'inizio la differenza di potenziale è:

$ $ - \frac{\Delta V}{d} = E $ $

Dopo l'inserimento del dielettrico il campo varia e diventa:

$ $ E' = \frac{\sigma}{\epsilon_{r} \epsilon_{0}} = \frac{E}{\epsilon_{r}} $ $

e la nuova differenza di potenziale è:

$ $ \Delta V' = \frac{\Delta V}{\epsilon_{r}} $ $

La distanza $ d $ tra le armature non varia, e non varia la carica sulle armatura della zona interessata, essendo il sistema isolato (dunque non varia $ \sigma $).

D'altra parte, essendo Q = CV, se varia C, deve variare anche V, essendo la carica costante, come detto.



Un suggerimento è quello di "spaccare" il condensatore in due condensatori in parallelo, così che il sistema sia equivalente a quello dato (si dimostra facilmente) e poi agire solo su quel condensatore tra i due che viene riempito col dielettrico.
Infatti, le formule che riguardano condensatori con dielettrici si riferiscono solo al caso in cui il dielettrico occupa tutto il volume tra le armature. Così, almeno, specifica l'Halliday :)

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Algebert
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Messaggio da Algebert » 09 ago 2008, 14:26

ico1989 ha scritto:
Algebert ha scritto:dato che la differenza di potenziale elettrico tra le armature non cambia dopo l'inserimento del dielettrico.
Qui c'è uno sbaglio, poichè la differenzia di potenziale della parte di condensatore interessata dal dielettrico cambia.
Accidenti :x , hai perfettamente ragione! Come diavolo ho fatto a dimenticarmelo :roll: ? Ok, questo vuol dire ristudio totale e immediato dell'Elettromagnetismo sull'Halliday 8) !
Lasciando perdere le idiozie, adesso il mio procedimento dovrebbe essere giusto.
Di nuovo, l'energia del condensatore all'inizio vale $ $U_0 = \frac{1}{2}\varepsilon_0\frac{L^2}{d}V_0^2$ $, dove $ \displaystyle V_0 $ è la differenza di potenziale iniziale tra le armature.
Dopo l'inserimento del dielettrico, la differenza di potenziale diventa (proprio come mi ha fatto notare ico1989 :wink: ) $ $V_1 = \frac{V_0}{\varepsilon_r}$ $, e di conseguenza, ragionando allo stesso modo di prima, cambia l'energia immagazzinata tra le piastre del condensatore:

$ $U_1 = \frac{3}{8}\varepsilon_0\frac{L^2}{d}V_0^2 + \frac{1}{8}\varepsilon_0\varepsilon_r\frac{L^2}{d}\frac{V_0^2}{\varepsilon_r^2} = \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{40} \right)U_0 = \frac{31}{40}U_0$ $

La variazione perciò è:

$ $\Delta U = U_1 - U_0 = \left (\frac{31}{40} - 1 \right )U_0 = -\frac{9}{40}U_0$ $

ovvero, espressa in termini percentuali:

$ $\Delta U_\% = \frac{\Delta U}{U_0} \cdot 100 = -22,5 \%$ $

Ovviamente il segno meno significa che l'energia diminuisce dopo l'inserimento del dielettrico.
A quanto pare il risultato coincide con quello di ico1989 8) (a proposito, grazie per aver corretto il mio strafalcione :wink: ); il mio metodo di ragionamento era dunque corretto, tuttavia mi sono clamorosamente dimenticato del "piccolo dettaglio" della differenza di potenziale tra le piastre prima e dopo l'inserimento della lastra :x .
EUCLA ha scritto:
Algebert ha scritto:E' una cosa che si trova su un qualunque libro delle superiori.
Ok, mi dò all'ippica!
Guarda EUCLA se la cosa ti può consolare tutto quello che so di fisica per il 95% me lo sono imparato da autodidatta; nonostante abbia avuto al triennio un buon libro (l'Amaldi) e un ottimo professore di fisica, le sue lezioni (forse a causa anche del corso a cui appartenevo, certamente non il più quotato :( ) non mi hanno mai dato lo stimolo per approfondire gli argomenti da lui spiegati di volta in volta. Poco (anzi, quasi nulla) problem solving, interrogazioni dove bastava ripetere mnemonicamente (direi anche meccanicamente) nozioni teoriche e dimostrazioni, compiti in classe a crocette (che a mio parere sono un autentico insulto all'intelligenza di noi studenti) mi hanno sempre reso insopportabili le sue lezioni.
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