Due molle con costante $ k_1 $ e $ k_2 $ di massa trascurabile sono attaccate in serie. Inoltre da una parte sono attaccate a un blocco di massa $ m $ e dall'altra al muro (il tutto è sostenuto da un tavolo orizzontale che non genera attriti).
Trovare la frequenza delle oscillazioni del blocco...
Le molle, il blocco...
Le molle, il blocco...
(no comment)
Beh allora si dimostra che la somma degli allungamenti $ \displaystyle x_1 $ e $ \displaystyle x_2 $ di ciascuna molla dovuti a una forza $ \displaystyle F $ corrisponde a quello che si avrebbe, con la stessa forza, sostituendo ad esse un'unica molla con costante elastica inferiore alle prime due. Poichè la forza si propaga ugualmente in entrambe le molle, è chiaro che:
$ \displaystyle F = -k_1x_1 $ e $ \displaystyle F = -k_2x_2 $
ma poichè l'allungamento totale $ \displaystyle x_{tot} $ è uguale alla somma di $ \displaystyle x_1 $ e $ \displaystyle x_2 $, allora, chiamando $ \displaystyle k_{eq} $ la costante dell'ipotetica molla equivalente, abbiamo anche che:
$ \displaystyle F = -k_{eq}(x_1 + x_2) $
da cui ricaviamo, dopo un paio di semplici conti e semplificazioni, che:
$ \displaystyle \frac {1}{k_{eq}} = \frac {1}{k_1} + \frac {1}{k_2} $
(da notare l'analogia con la capacità equivalente di condensatori in serie). Per trovare la frequenza, basta così applicare la formula apposita:
$ \displaystyle \nu = \frac {1}{2\pi}\sqrt {\frac {k_{eq}}{m}} $
Non ho voglia di TeXare l'espressione finale
!
Ah e aggiungo che ragionando allo stesso modo si dimostra che due molle di lunghezza identica e tra loro parallele sono equivalenti ad un'unica molla con costante elastica pari alla somma delle costanti delle prime due
(proprio come nei condensatori in parallelo).
$ \displaystyle F = -k_1x_1 $ e $ \displaystyle F = -k_2x_2 $
ma poichè l'allungamento totale $ \displaystyle x_{tot} $ è uguale alla somma di $ \displaystyle x_1 $ e $ \displaystyle x_2 $, allora, chiamando $ \displaystyle k_{eq} $ la costante dell'ipotetica molla equivalente, abbiamo anche che:
$ \displaystyle F = -k_{eq}(x_1 + x_2) $
da cui ricaviamo, dopo un paio di semplici conti e semplificazioni, che:
$ \displaystyle \frac {1}{k_{eq}} = \frac {1}{k_1} + \frac {1}{k_2} $
(da notare l'analogia con la capacità equivalente di condensatori in serie). Per trovare la frequenza, basta così applicare la formula apposita:
$ \displaystyle \nu = \frac {1}{2\pi}\sqrt {\frac {k_{eq}}{m}} $
Non ho voglia di TeXare l'espressione finale
!Ah e aggiungo che ragionando allo stesso modo si dimostra che due molle di lunghezza identica e tra loro parallele sono equivalenti ad un'unica molla con costante elastica pari alla somma delle costanti delle prime due
(proprio come nei condensatori in parallelo).
Ultima modifica di Algebert il 05 ago 2008, 07:24, modificato 3 volte in totale.
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
Io ci ho provato anche se non so quanto sia valido il risultato.
Allora se $ F=-kx $ è la forza totale che agisce sul blocco di massa $ m $ ho
$ $\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}$ $
Se $ x_2 $ e $ x_1 $ sono gli allungamenti delle rispettive molle, poichè la forza esercitata sul blocco è $ F=-k_2x_2 $ e le forze sulle molle si equivalgono, ho $ -k_2x_2=-k_1x_1 $.
quindi $ $x_1=\frac{k_2}{k_1}x_2$ $ e $ $x=x_1+x_2=\frac{k_2}{k_1}x_2+x_2$ $, $ $x_2=\frac{x}{1+\frac{k_2}{k_1}}$ $
Eguagliando le espressioni della forza di sopra ho $ -kx=-k_2x_2 $, cioè
$ $kx=\frac{x}{1+\frac{k_2}{k_1}}$ $ da cui $ $k=\frac{k_2}{\frac{k_1+k_2}{k_1}}$ $.
per cui $ $\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_1\cdot k_2}{(k_1+k_2)m}$ $
EDIT: accidenti!!
sono stato preceduto... e tutto sto Latex, poi !
anche se non so quanto sia valido il risultato.Allora se $ F=-kx $ è la forza totale che agisce sul blocco di massa $ m $ ho
$ $\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}$ $
Se $ x_2 $ e $ x_1 $ sono gli allungamenti delle rispettive molle, poichè la forza esercitata sul blocco è $ F=-k_2x_2 $ e le forze sulle molle si equivalgono, ho $ -k_2x_2=-k_1x_1 $.
quindi $ $x_1=\frac{k_2}{k_1}x_2$ $ e $ $x=x_1+x_2=\frac{k_2}{k_1}x_2+x_2$ $, $ $x_2=\frac{x}{1+\frac{k_2}{k_1}}$ $
Eguagliando le espressioni della forza di sopra ho $ -kx=-k_2x_2 $, cioè
$ $kx=\frac{x}{1+\frac{k_2}{k_1}}$ $ da cui $ $k=\frac{k_2}{\frac{k_1+k_2}{k_1}}$ $.
per cui $ $\nu=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k_1\cdot k_2}{(k_1+k_2)m}$ $
EDIT: accidenti!!
sono stato preceduto... e tutto sto Latex, poi !"Non ho particolari talenti, sono solo appassionatamente curioso." Albert Einstein
@ Rigel:
anch'io ho ragionato come te (cosa che conferma la validità del tuo risultato ) la prima volta che ho affrontato questo problema, che se non ricordo male si trova in una versione simile anche nell'Halliday, capitolo "Le oscillazioni"; poi sono riuscito a estendere il metodo anche alle molle in parallelo e a stabilire l'analogia con i condensatori 
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anch'io ho ragionato come te (cosa che conferma la validità del tuo risultato
) la prima volta che ho affrontato questo problema, che se non ricordo male si trova in una versione simile anche nell'Halliday, capitolo "Le oscillazioni"; poi sono riuscito a estendere il metodo anche alle molle in parallelo e a stabilire l'analogia con i condensatori ."[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
