Blocco retto da puntone in equilibrio statico

[Algebert]

Ecco il testo del problema:

"Un sistema fisico è costituito da un blocco di massa $ m_b = 225 kg $ appeso all'estremità di un puntone di massa $ m_p = 45 kg $ tenuto fisso al terreno con una cerniera ed inclinato rispetto ad esso di un angolo $ \alpha = 45° $. Una corda sottile di massa trascurabile, inclinata di un angolo $ \phi = 30° $ rispetto al terreno nello stesso verso del puntone, regge quest'ultimo e, assieme ad esso, il blocco sospeso:
a) Trovare la tensione T nel cavo.
b) Trovare le componenti orizzontale e verticale della forza esercitata dalla cerniera sul puntone."

Il problema è tratto dall'Halliday (per chi ha la sesta edizione come me si tratta del numero 19 a pag. 280), ed è correlato da una figura, che al momento non posso far vedere: spero che riusciate a capirlo lo stesso; è piuttosto semplice.

[Rigel]

E' più o meno una cosa del genere?

[Algebert]

Si esatto proprio come quella figura !

[String]

Ho risolto il punto a) (spero correttamente) ma per il punto b) ho trovato qualcosa di strano...
Per il primo punto ho calcolato la tensione del cavo dalla condizione di equilibrio delle forze, quindi, detto $ $ F_p $ la forza esercitata dalla cerniera sul puntone, $ T $ la tensione del cavo $ mg $ il peso del puntone e $ Mg $ il peso del blocco si ha:
$ \sum F_x=0 \longrightarrow F_p cos 45=Tcos30 $ e
$ \sum F_y=0 \longrightarrow F_p sin 45=mg+Mg+T sin 30 $
Essendo $ F_p cos 45=F_p sin 45 $ ho:
$ Tcos30=mg+Mg+T sin 30 $ da cui ricavo T:
$ $ T=\frac {2g(m+M)}{\sqrt3-1}=7236N $
Per il secondo punto invece ho provato a porre la condizione di equilibrio dei momenti relativamente al punto in cui è appeso il blocco ma ci deve essere qualcosa che non va... Infatti in questo modo le uniche forze che agiscono sono la forza peso del puntone e le componenti orizzontale e verticale della forza esercitata dalla cerniera sul puntone, ma essendo queste ultime uguali si avrebbe che $ $ \frac {mg}{2}cos 45=0 $
Dov'è che sbaglio?

[Algebert]

String ho ragionato anch'io come te per il punto a) ma il risultato dell'Halliday è completamente diverso, 6630 N ! Ora, non può trattarsi di un'approssimazione nei conti, perchè l'errore sarebbe superiore al 30% !
Anche per il punto b) mi vengono dei risultati diversi dall'Halliday . Anzi, la cosa veramente strana è che essendo l'angolo del puntone col terreno di 45° le due componenti dovrebbero essere uguali, invece l'Halliday me le dà diverse .
Un altro problema con risultato sbagliato da aggiungere alla mia collezione ?

P.S: comunque il secondo punto io l'ho fatto senza considerare i momenti delle forze, una volta che trovi $ T $ trovi in automatico anche la forza esercitata dalla cerniera (o almeno credo).

[Desh]

Dall'immagine di Rigel direi che possiamo considerare la corda divisa in due porzioni, dal terreno alla punta e dalla punta al blocco.

Il blocco è in equilibrio quindi il valore della tensione della seconda porzione di corda è uguale al suo peso $ P_b=m_b g $ (la corda non fa altro che "trasmettere" il peso del blocco)

Il puntone non deve ruotare, quindi il momento delle forze agenti su di esso deve essere nullo. Calcolando il momento delle forze rispetto al punto C (la cerniera; $ l $ è la lunghezza del puntone) si ha che
$ \displaystyle \frac{l}{2} P_p \sin(45°)+l \cdot P_b \sin(45°)=l \cdot T \sin(15°) $
da cui
$ \displaystyle T=g \cdot \frac{\sin(45°)}{\sin(15°)} \cdot \left(\frac{1}{2} m_p+m_b \right) $


sostituendo i dati il risultato viene circa 6630N, a seconda di come si approssima $ g $

[Algebert]

Desh il tuo ragionamento non fa una piega, e per lo più il risultato è corretto ! Ma allora dov'è che abbiamo sbagliato io e String ?
Vabbè già che ci sono scrivo il procedimento per risolvere il punto b): la componente verticale $ \displaystyle F_y $ della forza esercitata dalla cerniera, diretta verso l'alto, per reggere il sistema deve equilibrare il peso $ \displaystyle P_p $ del puntone, il peso $ \displaystyle P_b $ del blocco e la componente verticale (anch'essa diretta verso il basso) $ \displaystyle T_y $ della tensione esercitata dalla corda. Perciò:

$ \displaystyle F_y = (m_p + m_b)g + Tcos 60° = 5961 N $

La componente orizzontale $ \displaystyle F_x $ è invece uguale e opposta alla componente $ \displaystyle T_x $ della tensione della corda. Perciò:

$ \displaystyle F_x = Tsen 60° \approx 5742 N $

[Desh]

Ma allora dov'è che abbiamo sbagliato io e String ?

Anzi, la cosa veramente strana è che essendo l'angolo del puntone col terreno di 45° le due componenti dovrebbero essere uguali, invece l'Halliday me le dà diverse

Penso che l'errore sia nella frase in grassetto, fondamentalmente, infatti avete usato quella nel vostro ragionamento. Come si vede al punto b, non è necessariamente vero, la forza non ha la stessa direzione del puntone.

[Algebert]

Cavoli, è vero ! Dannazione !