Ci son due spire e un generatore... [SNS 1996/1997.6]

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darkcrystal
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Ci son due spire e un generatore... [SNS 1996/1997.6]

Messaggio da darkcrystal » 30 lug 2008, 14:09

Allora... prima il testo:

Una spira conduttrice circolare è fissata sul piano $ xy $ con centro nell’origine ed è collegata ad un generatore di corrente che vi mantiene una corrente I costante. Una seconda spira conduttrice chiusa, identica alla prima, è vincolata a muoversi mantenendosi col centro lungo l’asse z e parallela al piano $ xy $. La spira mobile è inizialmente molto lontana dall’origine, ma vi si sta avvicinando; essa inizialmente non è percorsa da corrente. Se ne descriva il moto qualitativamente e, in particolare, si dica se viene attratta o respinta dalla spira fissa e come tale interazione dipende dalla corrente nella spira fissa e dalla distanza fra le spire, supponendo che tale distanza si mantenga molto grande rispetto alle dimensioni delle spire.

E poi vi espongo il mio dubbio (anche senza i calcoli, che vi lascio il piacere di fare :) ) : ora io mi sono scritto l'intensità di corrente nella spira mobile in funzione di I, del raggio delle spire, della loro distanza e della velocità della spira mobile.
Il risultato è un orrore che mi risulta $ \displaystyle \frac{3\mu_0 I \pi R^4 z v}{2C \left(R^2+z^2 \right)^{\frac52}} $ dove C è la resistenza della spira mobile, R il raggio comune delle due spire e v la velocità della spira mobile. Ora, l'interazione fra le due spire è dovuta al fatto che il campo magnetico generato da quella fissa induce una f.e.m. (e quindi una corrente) in quella mobile, e che poi questa corrente interagisce con il medesimo campo magnetico (e si respingono - giusto?)
E ora - se avete avuto la pazienza di leggere fin qui - arriviamo al mio problema: primo, come faccio sparire la velocità per esprimere l'interazione solo in funzione della distanza e della corrente? E secondo, dovrei sapere un po' più precisamente come è fatto il campo magnetico, perchè non posso approssimarlo ad un campo uniforme e parallelo all'asse z, dal momento che un tale campo magnetico in totale eserciterebbe una forza nulla su un filo circolare a lui perpendicolare; d'altra parte, scoprire l'angolo tra il campo magnetico e la spira non sembra banale: quindi?

Ok, non vi annoio ulteriormente, direi che ce ne sia già abbastanza :)
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Bacco
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Messaggio da Bacco » 31 lug 2008, 09:17

Non è affatto un problema facile per un'ammissione.

Premetto che non ho fatto alcun conto per verificare il tuo risultato, ti dico solo così a occhio.

Innanzitutto è chiaro che la velocità non può sparire nel senso che dici te, perchè la forza verrà sempre proporzionale ad essa, a $ z $ costante; magari puoi provare a farla partire da un certo punto $ z_0 $ e a scrivere la opportuna eq. differenziale (al denominatore butta via l'$ R^2 $, è trascurabile).

Per la questione di calcolare la forza: non so come si possa fare con metodi da liceo.
Ci sono essenzialmente due strade: o ti fai la derivata rispetto a $ z $ dell'energia di interazione tra il dipolo magnetico equivalente alla spira mobile (occhio: è indotto, la dipendenza da $ z $ va esplicitata sia per $ B $ che per il dipolo prima di fare la derivata) e il campo, oppure usi che $ div B = 0 $ e, per una spira piccola, trovi che:
$ B_x(r<<1,z)*2\pi r = r^2 * dB_z/dz (z) $

ciao
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Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 31 lug 2008, 23:51

Salve, purtroppo non so esprimere l'energia dovuta al campo creato da un dipolo magnetico nello spazio e con le divergenze ho poco a che fare, ma credo di essere arrivato a qualcosa per altre vie. Intanto, se il risultato di Darkcrystal è un orrore, il mio è molto peggio (penso di non aver approssimato da nessuna parte, tranne nel flusso all'interno della sfera in moto):

$ \displaystyle F = \frac{3 \pi \mu_0^2 r^3 i^2 z^2 v}{8R(r^2 + z^2)^{5/2}} \int_0^{\pi /2} \frac {\cos (2\theta) \cdot d \theta}{(\frac{z}{2r}+\cos \theta)^3} $

La forza penso sia repulsiva. I calcoli sono abbastanza bruttini. Nell'ordine ho fatto le seguenti cose:

1)Si trova $ B_z(z) $.
2)Si trova la corrente indotta $ I = \frac{3 \pi \mu_0 r^4 i z v}{2R(r^2+z^2)^{5/2}} $ (approssimata, ma questo è davvero inevitabile).
3)Ora viene il peggio. Disegno una spira circolare poggiata sul piano orizzontale vista dall'alto. Voglio il campo magnetico "sopra un punto della spira". Per un trattino di lunghezza $ d \vec{s} $ sarà:

$ d\vec{B}= \frac{\mu_0 i d\vec{s}\times \vec{l}}{4 \pi l^3} $

Dove il vettore $ \vec{l} $ va dal trattino al punto. Se scrivo $ \vec{l}=\vec{z}+\vec{d} $ e uso la proprietà distributiva mi trovo il campo magnetico nel piano della spira:

$ d\vec{B_{//}}= \frac{\mu_0 i d\vec{s}\times \vec{z}}{4 \pi l^3} $

La componente tangenziale se ne andrà integrando, quella diretta verso il centro invece rimane. Chiamando con $ \theta $ l'angolo tra il diametro per il punto e la congiungente con il trattino e notando che $ ds = 2rd \theta $ arrivo all'integrale orribile che compare nella formula che ho postato.


Chiaramente, non sono affatto sicuro che tutto quanto ho postato sopra sia giusto, anzi... Se qualcuno più esperto mi dice che ne pensa lo ringrazio :wink:

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