incontro ravvicinato

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Riccardo_ct
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incontro ravvicinato

Messaggio da Riccardo_ct » 29 lug 2008, 14:14

Due protoni inizialmente separati da una distanza $ r=30 pm $ hanno velocità uguali in modulo $ v=100Km/s $;il vettore velocità del primo forma un angolo $ \alpha=30° $ con la congiungente tra i protoni, la stessa cosa per il secondo, qui l'angolo lo chiamiamo $ \beta=60° $.
Determinare la distanza minima di avvicinamento nel corso del moto.
Si trascurino gli effetti relativistici e le perdite di energia tramite radiazione e l'interazione nucleare forte.
Ultima modifica di Riccardo_ct il 01 ago 2008, 19:44, modificato 1 volta in totale.

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 01 ago 2008, 12:24

Centriamo un sistema di assi cartesiani nella posizione iniziale di $ P_1 $ come in figura.

Se non si considerano forze agenti su di essi si muoveranno di moto rettilineo uniforme, in particolare, dopo un tempo $ t $ le coordinate di $ P_1 $ e $ P_2 $ saranno
$ P_1(vt\cos{\alpha}, vt\sin{\alpha}) $ e $ P_2(r-vt\cos{\beta}, vt\sin{\beta}) $.

Per i valori particolari degli angoli si può sostituire $ \sin{\beta}=\cos{\alpha}, \cos{\beta}=\sin{\alpha} $.

Allora risulta $ d(P_1,P_2)=\displaystyle \sqrt{(r-vt\sin{\alpha}-vt\cos{\alpha})^2+(vt\cos{\alpha}-vt\sin{\alpha})^2} $.

$ d(P_1,P_2) $ è minima, quando lo è il suo quadrato, in funzione di $ t $, unica variabile che non conosciamo.

Pongo $ f(t)=(r-vt\sin{\alpha}-vt\cos{\alpha})^2+(vt\cos{\alpha}-vt\sin{\alpha})^2 $ derivando per trovare $ t_0 $ punto di minimo.

Svolgendo i calcoli: $ f(t)=r^2+2v^2t^2-2rvt(\sin{\alpha}+\cos{\alpha}) $.

$ f'(t)=4v^2t-2rv(\sin{\alpha}+\cos{\alpha}) $.

Pongo $ f'(t)=0 \rightarrow t_0=\displaystyle \frac{2rv(\sin{\alpha}+\cos{\alpha})}{4v^2} $.

Poichè $ f''(t)>0 $, $ t_0 $ è effettivamente punto di minimo.

Introducendo i valori numerici: $ t_0=0,204\cdot 10^{-15} \ s $ :shock: :shock: e $ d_0=7,7997861 \ pm $.

Domanda: c'è un modo più intelligente e meno standard per farlo?
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Riccardo_ct
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Messaggio da Riccardo_ct » 01 ago 2008, 12:55

il ragionamento è giusto se consideri due particelle neutre, io chiedevo come è possibile risolvere il quesito ponendo due cariche di segno uguale.
A proposito: la massa e la carica del protone si suppongono note ovviamente

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 01 ago 2008, 13:09

Effettivamente c'era scritto di trascurare la perdita di energia, non l'interazione stessa :roll: .

Le idee potrebbero essere:

1. Vedere con che angolo, in funzione di t, cambia la congiungente dei due protoni.
2. Scomporre l'accelerazione secondo gli assi cartesiani e impostare nuovamente l'equazione del moto.

Magari scrivo qualcosa nel pomeriggio :wink:

edit: facendo il problema mi sono accorta che è molto più difficile di quanto potesse sembrare :? :?

Pigkappa
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Messaggio da Pigkappa » 01 ago 2008, 15:12

La minima distanza senza contare le forze che agiscono si trova in modo più rapido cambiando sistema di riferimento. Ho anche cercato di dimostrare che, con i valori numerici dati, le forze sono trascurabili, ma sfortunatamente pare proprio che questo non sia vero...

Non so da dove venga il problema, ma mi auguro che chi lo ha inventato abbia in mente una soluzione che non richieda di passare dalla soluzione dell'equazione differenziale che si ottiene volendo scrivere le equazioni del moto...

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Bacco
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Messaggio da Bacco » 01 ago 2008, 18:45

Carino!
Secondo me c'è il modo figo di farlo (modulo abbagli dovuti al caldo :D), good luck.
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Messaggio da EUCLA » 02 ago 2008, 12:46

Quanto è lecito supporre che una qualche velocità sia nulla nel momento del massimo avvicinamento..tipo quelle lungo la congiungente?

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Bacco
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Messaggio da Bacco » 06 ago 2008, 12:11

up! forza gente è un bel problema (anche se in effetti un po' impegnativo)

per rispondere a eucla: massimo avvicinamento -> derivata della velocità relativa lungo la congiungente = 0 -> $ (\vec{v_1}-\vec{v_2})\cdot (\vec{r_1}-\vec{r_2}) =0 $
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Messaggio da Pigkappa » 25 ago 2008, 19:11

Penso di essere riuscito a cavarne qualcosa...

Sia $ \displaystyle \vec{F_1} $ la forza che agisce sul primo protone. È evidente che sul secondo protone agisce una forza $ \displaystyle \vec{F_2} = - \vec{F_1} $.
Adesso mettiamoci nel sistema del secondo protone. Sul primo protone agisce una forza fittizia $ \displaystyle -\vec{F_2} = \vec{F_1} $. Possiamo quindi trattare la situazione in modo molto più semplice immaginando che il protone 2 sia fissato e il protone 1 abbia carica $ \displaystyle 2Q $ invece di $ \displaystyle Q $.

A questo punto il problema è facile, perchè possiamo calcolare l'energia del sistema:

$ \displaystyle E = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{2Q^2}{d} $

E sappiamo che il momento angolare è (in modulo, tanto la direzione non cambia):

$ \displaystyle L = m d v \sin{\theta} $

Sapendo che nel momento di avvicinamento massimo $ \displaystyle \theta = 90° $ (post di Bacco qua sopra), possiamo trovare la minima distanza d.

BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas » 26 ago 2008, 11:09

Perché non adottare un sistema di riferimento un po' furbo?

A me torna 12.21 pm



PS: scusate, c'era un errore nel calcolo :oops:
Ultima modifica di BMcKmas il 26 ago 2008, 16:27, modificato 1 volta in totale.
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Messaggio da iactor » 26 ago 2008, 11:46

Tipo quello del centro di massa......
Poi scrivi l'energia in funzione della distanza, della velocità di variazione della distanza e della velocità di rotazione attorno al centro di massa.
Utilizzi la conservazione del momento angolare per esprimere la velocità di rotazione in funzione della distanza e del momento angolare.
Poni la derivata temporale della distanza uguale a zero e trovi la distanza corrispondente.
Sbatti dentro il momento angolare e l'energia calcolate con le condizioni iniziali e ci sei.
Delle due approssimazioni che si sono fatte (momento angolare conservato ed energia conservata) la prima credo sia abbastanza buona, la seconda non lo so. In ogni caso senza questo il problema mi pare un po'intrattabile.

BMcKmas
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Messaggio da BMcKmas » 26 ago 2008, 11:56

No, molto più semplice mi sembra ...
Di fatto basta l'equazione che deriva dalla conservazione dell'energia ...
BMcKMas

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