Le solite carrucole, i soliti blocchi

[fede90]

La carrucola è un disco uniforme con il raggio di 10cm e la massa di 5kg. Il corpo 1, che è appoggiato a terra, ha massa 20 kg. Il corpo 2, che invece è a 2m di altezza dal suolo, ha massa 30kg. Il sistema (che potete vedere nella grezzissima figura) è inizialmente fermo e poi viene lasciato libero di muoversi. Che velocità avrà il corpo 2 subito prima che tocchi il suolo?

[AndBand89]

Sperando di non scrivere cavolate come mio solito, ci provo.

Il momento del blocco 1 sulla carrucola è $ T_1 = F_1 r = mgr $. Il segno è positivo perchè tale momento farebbe girare in senso antiorario la carrucola.

Il momento del blocco 2 sulla carrucola è $ T_2 = F_2 r = -Mgr $. Stessa discussione di sopra riguardo il segno.

Pertanto $ T_n = mgr - Mgr = (m - M) gr $.

Calcolo ora il momento d'inerzia del disco.
Poichè la carrucola è un disco pieno, si ha $ I = 1/2 M_d r^2 $, perciò $ I = 0,025 kg*m^2 $.

Ma per la II legge di Newton $ T_n = Ia $, dove $ a $ è l'accelerazione angolare della carrucola, per cui $ a = 392,4 rad/s^2 $.

Ma l'accelerazione tangenziale $ a_t $ della carrucola è pari all'accelerazione del blocco 2.

$ a_t = ar = 39,24 m/s^2 $.

Per la legge del moto uniformemente accelerato, $ v^2 = 2a_ts $, da cui $ v = 12,53 m/s $, che è la velocità con cui il blocco 2 tocca terra.



A giuducare dal risultato ho scritto un sacco di fregnacce, se sbaglio mi corigerete.

[Rigel]

Secondo me la forza applicata dai blocchi in movimento sulla carrucola non è uguale ai pesi, ma alle tensioni delle funi. Siano $ m_1 $ la massa del blocco piccolo, $ m_2 $ quella del blocco grande e $ m_0 $ quella della carrucola. Inoltre sia $ a $ l'accelerazione con cui si muovono i due blocchi e $ $\alpha=\frac{a}{r}$ $ l'accelerazione angolare della carrucola. per le equazioni del moto si ha
$ m_2g-T_2=m_2a $
$ T_1-m_1g=m_1a $
$ (T_2-T_1)r=I\alpha $
Ricavando T_2 e T_1 e sostituendo nell'ultima equazione si ha
$ $(m_2g-m_2a-m_1a-m_1g)r=\frac{1}{2}m_0r^2\frac{a}{r}$ $
$ $a=\frac{(m_2-m_1)g}{\frac{1}{2}m_0+m_1+m_2}$ $
E sostituendo i dati numerici si ottiene $ a=1,867 m/s^2 $
Dato che $ v=\sqrt{2ah} $, si ha $ v=\sqrt{2\cdot1,867\cdot2}=2,73 m/s $

[SkZ]

Ma l'accelerazione tangenziale $ a_t $ della carrucola è pari all'accelerazione del blocco 2.

$ a_t = ar = 39,24 m/s^2 $.

4g

prova a farlo con la conservazione dell'energia: piu' semplice e in teoria manco serve R.
poi un corpo che cade per 2m raggiunge al max 6.26 m/s

[AndBand89]

Ma l'accelerazione tangenziale $ a_t $ della carrucola è pari all'accelerazione del blocco 2.

$ a_t = ar = 39,24 m/s^2 $.

4g

prova a farlo con la conservazione dell'energia: piu' semplice e in teoria manco serve R.
poi un corpo che cade per 2m raggiunge al max 6.26 m/s

Devi ammettere che sarebbe una grande scoperta! Che scemo, ho dimenticato le tensioni...

[Ippo_]

Un facile conto con le energie conferma il risultato di Rigel:

$ Mgh=mgh+1/2I\omega^2+1/2(m+M)v^2 $,
$ 2(M-m)gh=v^2(I/R^2+m+M) $, $ 2(M-m)gh=v^2(1/2m_c+m+M) $
$ \displaystyle v^2=\frac{2(M-m)gh}{1/2m_c+m+M} $, $ \displaystyle v=\sqrt{\frac{2(M-m)gh}{1/2m_c+m+M}}=2,73m/s $

dove M=30Kg, m=20kg, m_c=5kg, h=2m.

Una cosa curiosa: se omettiamo nel conto qui sopra le energie cinetiche dei due blocchi, otteniamo $ (M-m)gh=1/4m_cR^2\omega^2 $, da cui $ v=\omega R=\sqrt{\frac{4(M-m)gh}{m_c}}=12,53m/s $, come nella soluzione di AndBand89: scordarsi le tensioni nel conto dei momenti equivale a scordarsi le energie cinetiche dei blocchi nel conto delle energie.

[String]

Una domanda stupida: ma le tensioni delle funi responsabili del momento torcente che fa girare la carrucola, sono da considerarsi come forze di reazione delle tensioni che agiscono sui blocchi per equilibrare i loro pesi, giusto?

[Rigel]

Esatto (anche se si dovrebbe imporre che la fune sia inestensibile)

[String]

Un'altra domanda: da cosa è dovuto il fatto che le tensioni dei due blocchi sono diverse? Perchè la carrucola ha massa? Perchè gira? Entrambe le cose? In ogni caso perchè danno luogo a questa diversità visto che comunque il filo è inestensibile?

[fede90]

Ok il risultato è giusto (2.73m/s). La mia soluzione era esattamente identica a quella di Ippo_ ma chiaramente alla fine mi veniva 7.47m/s perchè avevo dimenticato di fare la radice quadrata

[AndBand89]

Almeno tu ti sei ricordato delle tensioni Fede:lol:

[Rigel]

Un'altra domanda: da cosa è dovuto il fatto che le tensioni dei due blocchi sono diverse? Perchè la carrucola ha massa? Perchè gira? Entrambe le cose? In ogni caso perchè danno luogo a questa diversità visto che comunque il filo è inestensibile?

Le due tensioni sono diverse perchè la massa della carrucola non è trascurabile, in quanto (almeno io lo intendo così, ma posso benissimo sbagliare) una parte del momento esercitato da $ T_2 $ è usato per far ruotare la carrucola e così $ T_1<T_2>m_1 $ allora $ T_2>T_1 $.
L'inestensibilità del filo serve per dire che la tensione nel punto in cui la fune è legata al blocco è uguale a quella in cui la fune è in contatto con la carrucola.
Inoltre se il filo è inestensibile esso ha la stessa accelerazione e la stessa velocità in tutti i suoi punti, ma, come già detto, "parte" del momento delle tensioni è usato per mettere in rotazione la carrucola.