Credo di sì, con una porcheria matematica di questo tipo
:
se l=25cm e m=0,05kg, si ha che il momento torcente in funzione dell'angolo (misurato rispetto all'orizzontale) è $ \tau(\theta)=mgl\cos(\theta) $
Dunque si ha che l'accelerazione agolare è $ \displaystyle \alpha(\theta)=\frac{\tau(\theta)}{I}=\frac{mgl\cos(\theta)}{I} $.
A questo punto vediamo che $ \displaystyle \alpha=\frac{d\omega}{dt} $ e che $ \displaystyle \omega=\frac{d\theta}{dt} $, dunque con un passaggio un pochino sporco (
) abbiamo $ \displaystyle dt=\frac{d\omega}{\alpha}=\frac{d\theta}{\omega} $, da cui segue
$ \displaystyle \int_{\omega_i}^0\omega \, d \omega=\int_0^{\theta_x}\alpha \, d \theta $, dove $ \theta_x $ è ovviamente l'angolo raggiunto il quale si ferma tutto.
Si ha quindi $ \displaystyle -1/2\omega_i^2=\frac{mgl}{I}\int_0^{\theta_x}\cos(\theta) \, d\theta $, e per finire $ \displaystyle -\frac{I\omega_i^2}{2mgl}=\sin(\theta_x) $. Quest'ultimo passaggio spiega che il seno dell'angolo a cui si fermerà la rotazione è uguale al rapporto tra l'energia cinetica iniziale e l'energia potenziale gravitazionale nel punto di massima altezza (con un segno meno perchè il segno positivo per il seno dell'angolo si trova sotto l'orizzontale ed è assurdo che il sistema si fermi lì). La cosa è coerente col fatto che se l'energia cinetica iniziale è maggiore di quella potenziale nel punto di massima altezza allora l'angolo $ \theta_x $ non esiste (la giostra non si ferma mai in assenza di attriti) e che se invece le 2 energie sono perfettamente identiche allora si ha $ \sin(\theta_x)=-1 $ il che corrisponde alla situazione in cui lo stucco si ferma in cima in equilibrio instabile. Detto questo, il risultato viene: $ \sin(\theta_x)=-0,022 $, $ \theta_x=(\pi+0,022)rad=1,007\pi \, rad $.
I risultati coincidono
(certo però che a parità di risultato l'altro procedimento è molto più facile e meno "sporco"
)
