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Dimostrare che la differenza di pressione tra l'interno e l'esterno di una bolla di raggio $ r $ è $ \displaystyle \frac{4 \gamma}{r} $, dove $ \displaystyle \gamma $ è la tensione superficiale del liquido di cui è composta la bolla.

Buon divertimento con le bolle di sapone!

Innanzitutto, grazie che ho imparato che cos'è la tensione superficiale .

Avverto che però il risultato non è esattamente lo stesso.

Quindi $ \displaystyle \gamma =\frac{L}{A} $ dove $ A $ è la superficie interessata dallo spostamento $ ds $.

Sia $ p_i $ la pressione interna alla bolla.
La pressione interna tende a far dilatar la bolla, aumentandone il raggio.
Il lavoro corrispondente è $ L_i=\displaystyle \int F \ dr=\int p_iA \ dr $ dove $ A $ è la superficie interessata.

$ L_i=p_i4\pi r^3\rightarrow p_i=\displaystyle \frac{L_i}{4\pi r^2}\cdot \frac{1}{r}=\frac{\gamma}{r} $.

Analogamente $ \displaystyle L_e=p_e4\pi r^3 \rightarrow p_e=-\displaystyle \frac{\gamma}{r} $ (le forze agiscono sulla bolla in direzioni opposte).

Da qui ricavo $ \Delta p=\displaystyle \frac{2\gamma}{r} $.

Dove sbaglio?

Uff, non sarò mai un buon fisico, non sono neanche riuscita a far tornare il risultato..
Comunque, bel problema!

Cosa stupenda

Brava EUCLA, bella dimostrazione Comunque il risultato si trova con wikipedia

ico1989 ha scritto:Comunque il risultato si trova con wikipedia

D'altra parte, wikipedia dice così:
$ $\Delta P=\gamma \frac{dA}{dV}$ $
Se la interpreto bene, nel nostro caso sarebbe:
$ $\Delta P=\gamma \frac{d(4\pi r^2, r)}{d(\frac{4}{3}\pi r^3, r)} = \frac{2\gamma}{r}$ $

Sbaglio?

Mi scuso per non aver risposto prima, ma sono riuscito a prendermi un'influenza con i fiocchi al 25 di luglio

Comunque, le formule di wikipedia sono per le superfici, mentre l'Halliday - poco prima di proporre quel problema - dice chiaramente che una bolla, per quanto sottile, non ha una superficie sola ma due, e quindi il risultato va raddoppiato

In secondo luogo mi sfugge un passaggio nella dimostrazione di Eucla: quando integri $ \displaystyle \int p_iA dr = \int 4 \pi r^2 p_i dr $ stai considerando $ p_i $ come una costante? Perchè in questo caso il risultato dovrebbe essere - sempre che io non sia annebbiato dai bacilli dell'influenza - $ \displaystyle \frac{4\pi r^3}{3} p_i $, o no?

Comunque grazie della risposta (io onestamente il problema non ho mica ancora capito come si faccia!), ciau!!

Ora che mi ci fai pensare non sono né sicura del fatto che $ p_i $ sia costante.. né quindi che il risultato dell'integrale sia quello...facciamo che mi rivedo la dimostrazione va

Sisì, torna!

$ L=\displaystyle \int F \ dr=\int p_iA \ dr $.

Allo stesso tempo la def di tensione superficiale ci dice che $ L=\displaystyle \int \gamma dA $

Dall'uguaglianza di $ L $ ricavo: $ \displaystyle p_i\frac{dV}{dr}=\gamma \frac{dA}{dr} $ da cui $ p_i=\displaystyle \gamma \frac{8\pi r}{4\pi r}=\frac{2\gamma}{r} $.

In modulo, ricavo analogamente $ p_e=\displaystyle \frac{2\gamma}{r} $.

Da cui $ \Delta p=\displaystyle \frac{4\gamma}{r} $ perchè le forze che agiscono a causa della pressione hanno verso opposto.

p.s. secondo me l'influenza è un residuo della baldoria ispanica

Ciao!

Baldoria? Io? Ma quando mai

Comunque per il problema ok, mi pare che ora torni perfettamente!

C'è anche il "metodo della fettina", utile in svariate occasioni: ricordando la definizione operativa di tensione superficiale $ dF=\gamma dl $, si prende una fettina della sfera (cioè una calotta) tale che la circonferenza intercettata sia di raggio $ R*sen\theta $; si calcola la forza risultante nella direzione radiale e si divide per l'area della calotta (tutto nel limite di $ \theta $ piccolo), viene $ 2\gamma / r $ da raddoppiare per il discorso della doppia superficie.

ciao