Finisce tutto in una bolla di sapone

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darkcrystal
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Finisce tutto in una bolla di sapone

Messaggio da darkcrystal » 25 lug 2008, 15:06

Dimostrare che la differenza di pressione tra l'interno e l'esterno di una bolla di raggio $ r $ è $ \displaystyle \frac{4 \gamma}{r} $, dove $ \displaystyle \gamma $ è la tensione superficiale del liquido di cui è composta la bolla.

Buon divertimento con le bolle di sapone!
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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 25 lug 2008, 22:08

Innanzitutto, grazie che ho imparato che cos'è la tensione superficiale :D .

Avverto che però il risultato non è esattamente lo stesso.

Quindi $ \displaystyle \gamma =\frac{L}{A} $ dove $ A $ è la superficie interessata dallo spostamento $ ds $.

Sia $ p_i $ la pressione interna alla bolla.
La pressione interna tende a far dilatar la bolla, aumentandone il raggio.
Il lavoro corrispondente è $ L_i=\displaystyle \int F \ dr=\int p_iA \ dr $ dove $ A $ è la superficie interessata.

$ L_i=p_i4\pi r^3\rightarrow p_i=\displaystyle \frac{L_i}{4\pi r^2}\cdot \frac{1}{r}=\frac{\gamma}{r} $.

Analogamente $ \displaystyle L_e=p_e4\pi r^3 \rightarrow p_e=-\displaystyle \frac{\gamma}{r} $ (le forze agiscono sulla bolla in direzioni opposte).

Da qui ricavo $ \Delta p=\displaystyle \frac{2\gamma}{r} $.

Dove sbaglio?

Uff, non sarò mai un buon fisico, non sono neanche riuscita a far tornare il risultato.. :roll:
Comunque, bel problema!

ico1989
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Messaggio da ico1989 » 26 lug 2008, 00:51

Cosa stupenda :D

Brava EUCLA, bella dimostrazione ;) Comunque il risultato si trova con wikipedia :roll:

ico1989
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Messaggio da ico1989 » 26 lug 2008, 01:10

ico1989 ha scritto:Comunque il risultato si trova con wikipedia :roll:
D'altra parte, wikipedia dice così:
$ $\Delta P=\gamma \frac{dA}{dV}$ $
Se la interpreto bene, nel nostro caso sarebbe:
$ $\Delta P=\gamma \frac{d(4\pi r^2, r)}{d(\frac{4}{3}\pi r^3, r)} = \frac{2\gamma}{r}$ $

Sbaglio?

darkcrystal
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Messaggio da darkcrystal » 27 lug 2008, 12:48

Mi scuso per non aver risposto prima, ma sono riuscito a prendermi un'influenza con i fiocchi al 25 di luglio :D

Comunque, le formule di wikipedia sono per le superfici, mentre l'Halliday - poco prima di proporre quel problema - dice chiaramente che una bolla, per quanto sottile, non ha una superficie sola ma due, e quindi il risultato va raddoppiato :wink:

In secondo luogo mi sfugge un passaggio nella dimostrazione di Eucla: quando integri $ \displaystyle \int p_iA dr = \int 4 \pi r^2 p_i dr $ stai considerando $ p_i $ come una costante? Perchè in questo caso il risultato dovrebbe essere - sempre che io non sia annebbiato dai bacilli dell'influenza - $ \displaystyle \frac{4\pi r^3}{3} p_i $, o no?

Comunque grazie della risposta (io onestamente il problema non ho mica ancora capito come si faccia!), ciau!!
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Messaggio da EUCLA » 27 lug 2008, 13:50

Ora che mi ci fai pensare non sono né sicura del fatto che $ p_i $ sia costante.. né quindi che il risultato dell'integrale sia quello...facciamo che mi rivedo la dimostrazione va :D

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 27 lug 2008, 15:38

Sisì, torna! :D

$ L=\displaystyle \int F \ dr=\int p_iA \ dr $.

Allo stesso tempo la def di tensione superficiale ci dice che $ L=\displaystyle \int \gamma dA $

Dall'uguaglianza di $ L $ ricavo: $ \displaystyle p_i\frac{dV}{dr}=\gamma \frac{dA}{dr} $ da cui $ p_i=\displaystyle \gamma \frac{8\pi r}{4\pi r}=\frac{2\gamma}{r} $.

In modulo, ricavo analogamente $ p_e=\displaystyle \frac{2\gamma}{r} $.

Da cui $ \Delta p=\displaystyle \frac{4\gamma}{r} $ perchè le forze che agiscono a causa della pressione hanno verso opposto.

p.s. secondo me l'influenza è un residuo della baldoria ispanica :P

Ciao!

darkcrystal
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Messaggio da darkcrystal » 30 lug 2008, 13:50

Baldoria? Io? Ma quando mai :twisted:

Comunque per il problema ok, mi pare che ora torni perfettamente! :wink:
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Bacco
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Messaggio da Bacco » 31 lug 2008, 09:34

C'è anche il "metodo della fettina", utile in svariate occasioni: ricordando la definizione operativa di tensione superficiale $ dF=\gamma dl $, si prende una fettina della sfera (cioè una calotta) tale che la circonferenza intercettata sia di raggio $ R*sen\theta $; si calcola la forza risultante nella direzione radiale e si divide per l'area della calotta (tutto nel limite di $ \theta $ piccolo), viene $ 2\gamma / r $ da raddoppiare per il discorso della doppia superficie.

ciao
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