sns 2007/2008 n4

Meccanica, termodinamica, elettromagnetismo, relatività, ...
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oli89
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sns 2007/2008 n4

Messaggio da oli89 » 25 lug 2008, 13:14

vediamo un po...questo!

Un corpo incomprimibile di massa M = 1 kg e di volume V = 0.15dm3 `e attaccato
a un palloncino di massa trascurabile riempito con una massa m = 1 g di
azoto e ancorata sul fondo di un serbatoio d’acqua di profondit`a h = 1m con una
corda di lunghezza l = 0.5 m. Si supponga che l’azoto dentro il palloncino sia
costantemente in equilibrio termico con l’acqua.
(a) Cosa succederebbe al sistema corpo pi `u palloncino se non fosse ancorato
sul fondo ma appoggiato sul pelo dell’acqua a temperatura ambiente T0 =
20 C?
(b) Dove si posiziona invece il palloncino ancorato nell’acqua, sempre se l’acqua
`e a temperatura ambiente T0 = 20 C?
(c) Supponendo di scaldare lentamente l’acqua fino a 60 C, a quale temperatura
T1 si muove il palloncino ancorato? Si trascuri la dilatazione dell’acqua.
(d) Come si muove in seguito il palloncino ancorato se l’acqua si raffredda lentamente?
Si faccia un grafico della posizione del palloncino al crescere e al
decrescere della temperatura.
Peso molecolare azoto= 28 g/mole; pressione atmosferica Pa = 1.01 * 10^5Pa; densit`
a dell’acqua r0 = 1 g/cm3; R = 8.31 J/K/mole.

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Ippo_
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Messaggio da Ippo_ » 25 lug 2008, 22:34

[EDIT: ho corretto alcune boiate]
Beh, abbiamo che la pressione dell'azoto in funzione della posizione y è $ P(y)=P_{atm}+\rho g (h-y) $ e dunque per l'equazione dei gas perfetti $ \displaystyle V_1(y)=\frac{nRT_0}{P(y)}=\frac{nRT_0}{P_{atm}+\rho g (h-y)} $ dove $ n=1g/28g\cdot mol^{-1}=0,036mol $.
Ora basta imporre l'equilibrio del sistema, in cui agiscono solo la forza peso Mg e la spinta di Archimede: $ Mg=\rho g \cdot (V+V_1(y)) $ essendo la massa dell'azoto trascurabile.
Segue $ \displaystyle \frac{M}{\rho}-V=V_1(y)=\frac{nRT_0}{P_{atm}+\rho g (h-y)} $ da cui con qualche passaggio si arriva a $ \displaystyle y=h+\frac{P_{atm}}{\rho g}-\frac{nRT_0}{g(M-\rho V)} $
In quel punto si ha un equilibrio instabile e dunque il palloncino tenderà sempre ad allontanarsene. Dai conti risulta $ y=0,81m $, quindi il palloncino del caso a) resta in superficie e quello del caso b) va al fondo.

Per rispondere al punto c) si risolve l'equazione $ y(T_x)=0cm $:
$ \displaystyle \frac{nRT_x}{g(M-\rho V)}=h+\frac{P_{atm}}{\rho g}=11,34m $, $ \displaystyle T_x=\frac{g(M-\rho V)\cdot 11,34m}{nR}=316K=43°C $. A 43 gradi Celsius il punto d'equilibrio del palloncino si troverebbe al di sotto del fondo, e dunque questo si sposta all'altezza massima: 50cm, con la corda in tensione.

Quanto al punto d), il palloncino comincerà a scendere una volta che il punto di equilibrio si troverà al di sopra dei 50cm. Si risolve dunque $ y(T_x)=50cm $ e si ricava $ T_x=302K=29°C $: quando il raffreddamento dell'acqua ne avrà abbassato la temperatura al di sotto dei 29 gradi Celsius il palloncino sarà spinto al fondo.
Ultima modifica di Ippo_ il 02 ago 2008, 11:33, modificato 1 volta in totale.
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ludo90
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Messaggio da ludo90 » 30 lug 2008, 19:44

la tua risposta non mi convince...
d'accordo sull'equilibrio quando il palloncino e libero..
ma dopo: aumentando la temperatura si aumenta il volume quindi il palloncino avra tendenza a salire, e salendo la pressione diminuisce quindi sale ancora di piu... enon scende come avevi detto tu
secondo me cerchi un equilibrio che non c'e

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Ippo_
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Messaggio da Ippo_ » 01 ago 2008, 23:54

Mettiamola così. La forza agente sul sistema, esclusa la spinta di Archimede sul palloncino, è $ g(M- \rho V)=9,81\cdot(1-0,15)=8,34N $. Tale forza è fissa e dunque l'equilibrio si ha solo per un determinato volume del palloncino, che è $ 8,34N/(1000kgm^{-3}\cdot9,81ms^{-2})=0,85dm^3 $. A tale volume fisso corrisponde una pressione che varia con la temperatura: $ P=(nR/V)\cdot T=351,9T $. Si vede che se la temperatura cresce allora cresce anche la pressione e dunque la profondità a cui si trova punto d'equilibrio. Solo che, come fai notare tu, se spostiamo verticalmente il palloncino rispetto al punto di equilibrio questo se ne allontana: se lo solleviamo diminuisce la pressione, aumenta il volume e la forza risultante lo allontana verso l'alto; se lo abbassiamo aumenta la pressione, diminuisce il volume e la froza risultante lo spinge verso il basso. Analogamente se la temperatura cambia allora il punto di equilibrio si sposta rispetto al palloncino e si ottiene lo stesso effetto. Questo dimostra che l'equilibrio è instabile (non che "non c'è", comunque :) ). L'avevo inspiegabilmente scambiato per un equilibrio stabile :?
A questo punto il problema si risolve abbastanza facilmente (più facilmente di come avevo fatto io :lol: ): il palloncino si trova all'altezza massima quando il suo volume supera i 0,85 decimetri cubi o al fondo in caso contrario. La legge dei gas perfetti trasforma la condizione sul volume in una condizione sulla temperatura e sulla pressione (cioè sull'altezza) e fine. Ho corretto la soluzione di sopra.
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