ico1989 ha scritto:please
Don't worry!
La forza d'attrito svolge due tipi di lavoro, che indico con $ L_s $ e con $ L_{\theta} $: il primo è quello fatto per quanto riguarda la traslazione (in cui la velocità aumenta) e il secondo è quello fatto sulla velocità angolare che diminuisce. Quando inizia il puro rotolamento, il cilindro si può considerare in rotazione attorno all'asse passante per il punto di contatto col terreno. Tale punto è fermo e perciò l'attrito (se si trascura quello volvente) non compie più lavoro dopo che inizia il puro rotolamento.
Per la conservazione dell'energia ho $ K_0=K_r-L_s+L_{\theta} $.
Dove $ $K_0=\frac{1}{2}I\omega_0^2$ $
$ L_s=F\cdot s $
$ L_{\theta}=FR\cdot\theta $
Per quanto riguarda la variazione di energia cinetica, si ha che il lavoro totale fatto dall'attrito è $ L_{attrito}=L_s-L_{\theta} $ perchè per la traslazione, la forza d'attrito agisce nello stesso verso dello spostamento e quindi compie lavoro positivo, mentre per la rotazione essa ha verso opposto e compie lavoro negativo.
Si ha che $ \Delta K=K_r-K_0=L_s-L_{\theta}=L_{attrito} $.
In ogni caso dipende molto dalle convenzioni: se assumi che l'attrito fa lavoro negativo quando frena un corpo (come in questo caso), allora ti ritrovi $ \Delta K=L_{attrito} $; se assumi che il lavoro dell'attrito è positivo quando frena il corpo, hai invece $ \Delta K=-L{attrito} $.
Ora calcoliamo il lavoro fatto dall'attrito.
Riprendendo le formule del post precedente e tralasciando i segni (che indicavano i versi di forza, velocità e accelerazione) ottengo $ FR=I\alpha $ e $ $t=\frac{2\omega_0}{3\alpha}$ $.
Per le leggi dei moti uniformemente accelerato (per $ s $) e decelerato (per $ \theta $) ho
$ $s=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}v_rt=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\omega_0R\cdot\frac{2\omega_0}{3\alpha}=\frac{\omega_0^2R}{9\alpha}$ $
$ $\theta=\omega_0t-\frac{1}{2}\alpha t^2=\omega_0\frac{2\omega_0}{3\alpha}-\frac{\alpha}{2}\frac{4\omega_0^2}{9\alpha^2}=\frac{2}{3}\frac{\omega_0^2}{\alpha}-\frac{2}{9}\frac{\omega_0^2}{\alpha}=\frac{4\omega_0^2}{9\alpha}$ $
Sostituendo mi ricavo
$ $L_s=F\cdot\frac{\omega_0^2R}{9\alpha}=I\alpha\frac{\omega_0^2}{9\alpha}=\frac{1}{9}I\omega_0^2$ $
$ $L_{\theta}=FR\cdot\frac{4\omega_0^2}{9\alpha}=I\alpha\frac{4\omega_0^2}{9\alpha}=\frac{4}{9}I\omega_0^2$ $
Ora mi ricavo $ K_r $:
$ $K_r=K_0+L_s-L_{\theta}=\frac{1}{2}I\omega_0^2+\frac{1}{9}I\omega_0^2-\frac{4}{9}I\omega_0^2=\frac{1}{6}I\omega_0^2=\frac{1}{12}MR^2\omega_0^2$ $
D'altra parte essendo $ K_r $ l'energia cinetica del moto di puro rotolamento, ho $ $K_r=\frac{1}{2}I_r\omega_r^2$ $.
Poichè il corpo ruota attorno al punto di contatto col terreno, allora $ $I_r=\frac{3}{2}MR^2$ $ e $ $\omega_r=\frac{\omega_0}{3}$ $.
Quindi $ $K_r=\frac{1}{2}\frac{3}{2}MR^2\frac{\omega_0^2}{9}=\frac{1}{12}MR^2\omega_0^2$ $. Ciò conferma che non ho tralasciato niente e che i calcoli sono esatti.
Spero di essere stato chiaro e di non aver solo scritto formule chilometriche
o impallato il server del forum con tutto sto Latex
.