Cilindro che ruota viene appoggiato su un piano

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ico1989
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Cilindro che ruota viene appoggiato su un piano

Messaggio da ico1989 » 20 lug 2008, 04:47

Un cilindro pieno, omogeneo, di raggio $ R $, massa $ M $ e momento di inerzia $ I=MR^{2}/2 $ ruota attorno al proprio asse, disposto orizzontalmente, con la velocità angolare iniziale $ \Omega_{0} $. Il cilindro all’istante iniziale viene appoggiato su di un piano orizzontale con velocità traslazionale nulla. Assumendo che la forza di attrito $ F $ tra il piano e il cilindro sia costante, determinate dopo quanto tempo il moto del cilindro diviene un moto di rotolamento puro e quanto spazio durante tale intervallo di tempo il cilindro percorre lungo il piano.
Ho trovato una mia soluzione, vorrei confrontarla con le vostre :)
Ultima modifica di ico1989 il 20 lug 2008, 18:33, modificato 1 volta in totale.

ico1989
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Messaggio da ico1989 » 20 lug 2008, 18:32

Io ho trovato che la velocita angolare del cilindro nell'istante $ t $ in cui comincia a "rotolare di rotolamento puro" è $ \Omega_{t}=\Omega_{0}/3 $.
Vi trovate?

Rigel
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Messaggio da Rigel » 20 lug 2008, 23:01

Siano $ \omega_r $ e $ v_r $ le velocità angolare e traslazionale quando inizia il moto di puro rotolamento. Allora $ \omega_rR=v_r $. Inoltre poichè l'attrito agisce nel verso opposto di $ \omega_0 $ si ha
$ $FR=-I\alpha$ $
$ $F=Ma$ $
Da cui si ricava $ $-\frac{MR^2}{2}\alpha=MaR$ $, cioè $ $a=-\frac{\alpha R}{2}$ $
Le equazioni del moto per la traslazione e per la rotazione sono
1) $ $v_r=at$ $
2) $ $\omega_r-\omega_0=\alpha t$ $
Dalla 2 si ha $ $t=\frac{\omega_r-\omega_0}{\alpha}$ $, che sostituita nella 1 dà $ $v_r=\frac{a}{\alpha}\cdot(\omega_r-\omega_0)\Rightarrow v_r=-\frac{\alpha R}{2\alpha}\cdot(\omega_r-\omega_0)\Rightarrow \frac{2v_r}{R}=\omega_0-\omega_r$ $
Ma essendo $ $\frac{v_r}{R}=\omega_r$ $, allora $ $2\omega_r=\omega_0-\omega_r$ $, cioè $ $\omega_r=\frac{\omega_0}{3}$ $
"Non ho particolari talenti, sono solo appassionatamente curioso." Albert Einstein

ico1989
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Messaggio da ico1989 » 21 lug 2008, 01:40

Bene, ci troviamo ;)

Vorrei però un chiarimento su questo: volendo fare un bilancio energetico tra l'istante in cui il cilindro è lasciato sul piano e quello in cui comincia il rotolamento puro, considerando chiuso il sistema cilindro-piano, dovrei scrivere $ 0 = \Delta K + \Delta E_{th} $, con $ \Delta E_{th} = L_{attrito} $? Cioé, la variazione di energia termica del sistema è uguale al lavoro della forza d'attrito? Oppure è l'opposto, $ \Delta E_{th} = -L_{attrito} $?

Comunque sia, come calcolo il lavoro della forza d'attrito? Devo terner conto anche del lavoro rotazionale?

ico1989
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Messaggio da ico1989 » 22 lug 2008, 12:45

please :D

Rigel
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Messaggio da Rigel » 22 lug 2008, 15:57

ico1989 ha scritto:please :D
Don't worry! :D
La forza d'attrito svolge due tipi di lavoro, che indico con $ L_s $ e con $ L_{\theta} $: il primo è quello fatto per quanto riguarda la traslazione (in cui la velocità aumenta) e il secondo è quello fatto sulla velocità angolare che diminuisce. Quando inizia il puro rotolamento, il cilindro si può considerare in rotazione attorno all'asse passante per il punto di contatto col terreno. Tale punto è fermo e perciò l'attrito (se si trascura quello volvente) non compie più lavoro dopo che inizia il puro rotolamento.
Per la conservazione dell'energia ho $ K_0=K_r-L_s+L_{\theta} $.
Dove $ $K_0=\frac{1}{2}I\omega_0^2$ $
$ L_s=F\cdot s $
$ L_{\theta}=FR\cdot\theta $
Per quanto riguarda la variazione di energia cinetica, si ha che il lavoro totale fatto dall'attrito è $ L_{attrito}=L_s-L_{\theta} $ perchè per la traslazione, la forza d'attrito agisce nello stesso verso dello spostamento e quindi compie lavoro positivo, mentre per la rotazione essa ha verso opposto e compie lavoro negativo.
Si ha che $ \Delta K=K_r-K_0=L_s-L_{\theta}=L_{attrito} $.
In ogni caso dipende molto dalle convenzioni: se assumi che l'attrito fa lavoro negativo quando frena un corpo (come in questo caso), allora ti ritrovi $ \Delta K=L_{attrito} $; se assumi che il lavoro dell'attrito è positivo quando frena il corpo, hai invece $ \Delta K=-L{attrito} $.
Ora calcoliamo il lavoro fatto dall'attrito.
Riprendendo le formule del post precedente e tralasciando i segni (che indicavano i versi di forza, velocità e accelerazione) ottengo $ FR=I\alpha $ e $ $t=\frac{2\omega_0}{3\alpha}$ $.
Per le leggi dei moti uniformemente accelerato (per $ s $) e decelerato (per $ \theta $) ho
$ $s=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}v_rt=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\omega_0R\cdot\frac{2\omega_0}{3\alpha}=\frac{\omega_0^2R}{9\alpha}$ $
$ $\theta=\omega_0t-\frac{1}{2}\alpha t^2=\omega_0\frac{2\omega_0}{3\alpha}-\frac{\alpha}{2}\frac{4\omega_0^2}{9\alpha^2}=\frac{2}{3}\frac{\omega_0^2}{\alpha}-\frac{2}{9}\frac{\omega_0^2}{\alpha}=\frac{4\omega_0^2}{9\alpha}$ $
Sostituendo mi ricavo
$ $L_s=F\cdot\frac{\omega_0^2R}{9\alpha}=I\alpha\frac{\omega_0^2}{9\alpha}=\frac{1}{9}I\omega_0^2$ $
$ $L_{\theta}=FR\cdot\frac{4\omega_0^2}{9\alpha}=I\alpha\frac{4\omega_0^2}{9\alpha}=\frac{4}{9}I\omega_0^2$ $
Ora mi ricavo $ K_r $:
$ $K_r=K_0+L_s-L_{\theta}=\frac{1}{2}I\omega_0^2+\frac{1}{9}I\omega_0^2-\frac{4}{9}I\omega_0^2=\frac{1}{6}I\omega_0^2=\frac{1}{12}MR^2\omega_0^2$ $
D'altra parte essendo $ K_r $ l'energia cinetica del moto di puro rotolamento, ho $ $K_r=\frac{1}{2}I_r\omega_r^2$ $.
Poichè il corpo ruota attorno al punto di contatto col terreno, allora $ $I_r=\frac{3}{2}MR^2$ $ e $ $\omega_r=\frac{\omega_0}{3}$ $.
Quindi $ $K_r=\frac{1}{2}\frac{3}{2}MR^2\frac{\omega_0^2}{9}=\frac{1}{12}MR^2\omega_0^2$ $. Ciò conferma che non ho tralasciato niente e che i calcoli sono esatti.
Spero di essere stato chiaro e di non aver solo scritto formule chilometriche :roll: o impallato il server del forum con tutto sto Latex :) .
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ico1989
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Messaggio da ico1989 » 23 lug 2008, 01:26

Tiriamo allora le somme :)

Con le convenzioni usuali (quelle che hai scelto anche tu).

In generale: $ L_{F esterne} = \Delta E_{mec} + \Delta E_{th} $, nel nostro caso: $ L_{F esterne} = 0 $. Dunque: $ 0 = \Delta E_{mec} + \Delta E_{th} $.

Da quel che ho capito l'energia termica $ \Delta E_{th} = - L_{attrito} $, in quanto, infatti, se una forza decelera un corpo, compie lavoro negativo e si produce energia termica per strofinamento.

Sull'Halliday: $ \Delta E_{th} = + f_{k}d $, ma la forza $ f_{k} $ agisce nel verso contrario al moto ed è indicata con $ - f_{k} $. Dunque si trova con ciò che dico, giusto?


Una considerazione per quanto riguarda l'ultima parte del tuo intervento.
Se considero il rotolamento puro come sovrapposizione di un moto traslazionale e un moto rotatorio intorno all'asse del cilindro, l'energia cinetica finale diviene:
$ $K_r=\frac{1}{2}I\omega_r^2+\frac{1}{2}Mv_{r}^2$ $, con $ $I = \frac{1}{2}MR^2$ $.
e si trova ugualmente, giusto?


Grazie mille del tanto latex!!! :D

Rigel
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Messaggio da Rigel » 23 lug 2008, 16:55

Giusto per $ f_k $ e giusto per il puro rotolamento! :D :P
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