C'è chi le scende e chi le sale...

[EUCLA]

La scala della figura ha i lati $ AC, CE $ incernierati in $ C $, di uguale lunghezza di $ 2,44 m $. Una barra di collegamento lugna $ 0,762 m $ è fissata a metà altezza tra $ B $ e $ D $. Un uomo del peso di $ 854 N $ sale per una lunghezza di $ 1,80 m $ misurata lungo il lato $ AC $. Supponendo che il pavimento sia privo di attrito e trascurando il peso della scala, trovate:

• la tensione nella barra di collegamento

• e le forze esercitate sulla scala dal pavimento in $ A $ e in $ E $.

[Ippo_]

Siano $ N_A, N_E $ rispettivamente le reazioni normali esercitate dal pavimento sul piede A e sul piede E, sia T la tensione nella barra e sia P il peso dell'uomo. Poichè si assume che la scala abbia peso trascurabile si deve avere $ N_A+N_E-P=0 $, quindi $ N_E=P-N_A $.

Con qualche conticino troviamo che l'angolo in C, chiamiamolo $ \alpha $,vale 0,634 radianti.
Imponiamo ora che i momenti delle forze siano nulli rispetto al punto C, prima nel segmento AC e poi in quello EC (le rotazioni dei 2 segmenti sono indipendenti):

1) $ N_A\sin\frac{\alpha}{2}\cdot(2,44m)-P\sin\frac{\alpha}{2}\cdot(0,64m)-T\cos\frac{\alpha}{2}\cdot(1,22m)=0 $
2) $ N_E\sin\frac{\alpha}{2}\cdot(2,44m)-T\cos\frac{\alpha}{2}\cdot(1,22m)=0 $

Sostituendo $ N_E $ nella 2) con $ P-N_A $ abbiamo un sistema di due equazioni nelle incognite $ N_A, T $. I conti mi danno $ N_A=704N, N_E=150N, T=316N $

[EUCLA]

Ma non ci sono anche altre forze da considerare nel punto C?

Anche perchè, ho pensato, consideriamo una scala. Se non ci fosse attrito col pavimento e non ci fosse neanche la barra BD, la scala non tenderebbe a aprirsi?
Per questo ho pensato ci dovessero essere due forze in C, ciascuna perpendicolare ai due segmenti AC e CE. Sbaglio, e perchè?

[Ippo_]

Le uniche forze esterne che agiscono sulla scala sono il peso dell'uomo e le reazioni normali del pavimento, il che giustifica $ N_A+N_E-P=0 $ Nelle altre 2 equazioni ho semplicemente preso come perno proprio il punto C, perciò non si pone il problema (qualsiasi forza agente in C avrebbe braccio nullo e non influirebbe nel calcolo del momento).

In ogni caso si può pensare che la componente della reazione normale $ N_E $ nella direzione EC agisca come una forza in C ("propagandosi" lungo la scala), ma non è necessario per spiegare l'apertura della scala. Senza la barra infatti la scala si aprirebbe perchè i momenti non si annullerebbero: nel segmento AC la reazione normale ha un braccio doppio rispetto al peso dell'uomo ed è in modulo maggiore della metà di questo (ci sarebbe un momento entrante non nullo); nel segmento EC, ancora più evidentemente, ci sarebbe un momento uscente non nullo perchè vi agirebbe la sola forza $ N_E $. Perciò i due rami avrebbero accelerazioni angolari con verso opposto, quindi si divaricherebbero.
Non credo ci sia bisogno di inserire altre forze per spiegarlo.

[EUCLA]

Mh, non mi torna molto ancora...vedrò di rifletterci.. comunque, i risultati che dà il libro sono diversi .

[Ippo_]

Credo di non aver capito bene cosa volevi dire. Comunque prima devo aver sbagliato qualche contazzo. Adesso mi viene $ N_A=539N, N_E=315, T=207N $, spero non siano sbagliati pure questi!

[EUCLA]

A parte qualche approssimazione ora tornano

E ho anche capito la questione delle forze. Per come l'ho vista io dovrebbe aprirsi la cerniera in C e staccarsi i due pezzi di scala. Oddio
Grazie della spiegazione