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Un guscio sferico uniforme di massa $ M $ e raggio $ R $ ruota intorno a un asse verticale su cuscinetti privi di attrito. Una corda priva di massa avvolta intorno all'equatore della sfera, passando senza slittamenti sopra una puleggia, priva di attrito, avente momento di inerzia $ I $ e raggio $ r $ tiene appeso un piccolo oggetto di massa $ m $. La corda non slitta e il perno è privo di attrito. Quale sarà la velocità dell'oggetto dopo che sarà disceso per una distanza $ h $ dalla posizione di riposo.

Personalmente ho avuto difficoltà a fare l'esercizio..

penso che si debba fare così. La variazione di energia potenziale è data dalla sola variazione di energia potenziale della massa m che risulta essre in valore assoluto$ m*g*h $. Poichè il sistema è isolato l'energia totale si conserva, dunque la variazione di energia potenziale deve essere opposta alla variazione di enregia cinetica che è data dalla sommadelle variazioni delle energie cinetiche di m e di M: rispettivamente $ \frac{1}{2}*m*v^2 $ e $ \frac{1}{2}*I*w^2 $ dove $ w $ è la velocità angolare. quindi bisogna eguagliare i valori assoluti. Bisogna aggiungerci il vincolo che la corda sia inestensibile, dunque variazione di h= variazione corda di M e derivando velocità di M uguale a velocità di m dove la prima velocità è data da $ w*r $ mentre la seconda è la nostra incognita che si trova ricavando $ w $ dalla seconda equazione e sostituendola nella prima equazione.

mandric ha scritto:la variazione di energia potenziale deve essere opposta alla variazione di enregia cinetica che è data dalla sommadelle variazioni delle energie cinetiche di m e di M

Ciò che dici è giusto, però dimentichi il fatto che anche la puleggia ruota e acquista enercia cinetica di rotazione. Per la conservazione dell'energia
$ $mgh=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I_1\omega_1^2+\frac{1}{2}I_2\omega_2^2$ $
Essendo la corda inestensibile tutti i suoi punti hanno la stessa velocità e quindi la velocità del blocco è uguale alle velocità tangenziali della puleggia e della sfera: $ $\omega_1=\frac{v}{R}$ $ e $ $\omega_2=\frac{v}{r}$ $. Sostituendo:
$ $2mgh=mv^2+\frac{2}{5}MR^2\frac{v^2}{R^2}+I\frac{v^2}{r^2}$ $
cioè
$ $v=\sqrt{\frac{2mgh}{m+\frac{2}{5}M+\frac{I}{r^2}}}$ $

Grazie Rigel, il ragionamento mi torna

l'avevo fatta molto più complicata tralasciando roba

Scusate se ripeso il topic, ma proprio adesso sto facendo questo problema sull'Halliday...sono arrivato allo stesso risulatato, poi quando ho inserito i valori viene un risultato diverso dall'Halliday...anche a voi?

Sinceramente non avevo verificato con i dati, però il ragionamento mi tornava

Il momento d'inerzia del guscio sferico è $ \displaystyle \frac{2MR^2}{3} $, può darsi sia quello il problema...

Quello è il momento del guscio sferico cavo se non sbaglio...

In effetti se per "guscio sferico uniforme", l'Halliday intende una sfera cava, bisogna prendere in considerazione il momento d'inerzia indicato da darkcrystal

Maledetto Halliday