Un ragazzino è seduto sulla cima di un blocco semisferico di raggio $ R=13,8 m $. Comincia a scivolare in giù con velocità trascurabile. Se il ghiaccio è privo di attrito, a che altezza dal suolo si staccherà dal ghiaccio?
Gioco da ragazzi 2
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AndBand89
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Gioco da ragazzi 2
Vedi sotto, l'introduzione è sempre quella
Un ragazzino è seduto sulla cima di un blocco semisferico di raggio $ R=13,8 m $. Comincia a scivolare in giù con velocità trascurabile. Se il ghiaccio è privo di attrito, a che altezza dal suolo si staccherà dal ghiaccio?
Un ragazzino è seduto sulla cima di un blocco semisferico di raggio $ R=13,8 m $. Comincia a scivolare in giù con velocità trascurabile. Se il ghiaccio è privo di attrito, a che altezza dal suolo si staccherà dal ghiaccio?
Le forze sullo sventurato (sai che male quando cade, quella sfera è altissima..) sono la forza peso $ P $, la forza centrifuga $ F_C $ e finchè rimane sulla semisfera, anche la normale alla superficie $ N $.
Nel momento in cui si stacca dovrà essere $ N=0 $.
Scompongo $ P $ nelle due componenti $ P_{\bot} $ e $ P_{\parallel} $, rispetto al vettore spostamento.
Si ha in generale che, se $ {\alpha} $ è l'angolo che la direzione della normale forma con il centro della semisfera: $ P\cdot \sin{\alpha}=P+F_C $.
Al momento dello stacco $ N=P=0\rightarrow \displaystyle mg\cdot \sin{\alpha}=m\frac{v^2}{R} \rightarrow v^2=gR\cdot \sin{\alpha} $.
Dalla conservazione dell'energia ottengo che:
$ \displaystyle mgR=mgR\cdot \sin{\alpha}+\frac{1}{2}mv^2 $
Ricavo $ v^2=2gR(1-\sin{\alpha}) $.
Sostituisco nella precedente: $ 2gR(1-\sin{\alpha})=gR\cdot \sin{\alpha} $.
Si ottiene che $ \displaystyle \sin{\alpha}=\frac{2}{3} $.
Quindi l'altezza da terra al momento della caduta è $ h=\displaystyle \frac{2}{3}R=9.2 m $
Spero di non aver scritto troppe cavolate, il problema mi ha dato un bel pò da riflettere.. tra l'altro: carino eh!
Nel momento in cui si stacca dovrà essere $ N=0 $.
Scompongo $ P $ nelle due componenti $ P_{\bot} $ e $ P_{\parallel} $, rispetto al vettore spostamento.
Si ha in generale che, se $ {\alpha} $ è l'angolo che la direzione della normale forma con il centro della semisfera: $ P\cdot \sin{\alpha}=P+F_C $.
Al momento dello stacco $ N=P=0\rightarrow \displaystyle mg\cdot \sin{\alpha}=m\frac{v^2}{R} \rightarrow v^2=gR\cdot \sin{\alpha} $.
Dalla conservazione dell'energia ottengo che:
$ \displaystyle mgR=mgR\cdot \sin{\alpha}+\frac{1}{2}mv^2 $
Ricavo $ v^2=2gR(1-\sin{\alpha}) $.
Sostituisco nella precedente: $ 2gR(1-\sin{\alpha})=gR\cdot \sin{\alpha} $.
Si ottiene che $ \displaystyle \sin{\alpha}=\frac{2}{3} $.
Quindi l'altezza da terra al momento della caduta è $ h=\displaystyle \frac{2}{3}R=9.2 m $
Spero di non aver scritto troppe cavolate, il problema mi ha dato un bel pò da riflettere.. tra l'altro: carino eh!
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Re: Gioco da ragazzi 2
che fisiciAndBand89 ha scritto: ...di raggio $ R=13,8 m $....
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AndBand89
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Re: Gioco da ragazzi 2
E ringrazie che non ho scritto $ 13,80 m $, come avrei dovuto fareedriv ha scritto:che fisiciAndBand89 ha scritto: ...di raggio $ R=13,8 m $....
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AndBand89
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EUCLA, uno dei due, probabilmente io, ha scritto una marea di cavolate...anche perchè il mio risultato ha del delirante! La posto affinchè mi possiate dire dov'è che sbaglio.
Prima osservazione: noi dobbiamo curarci solo della componente orizzontale di $ F_net $, in quanto è quello che determina lo "svolo".
Detto $ Gigi $ l'angolo che $ F_n $ forma con la parallela al terreno (non trovo l'alfa), $ F_ny $ (la componente della forza normale su $ y $) sarà uguale a $ F_ny = F_n sin Gigi $. Ma sarà anche uguale a $ -( F_g + F_c sin Gigi ) $, dove $ F_c $ è la forza centripeta. Ma allora $ F_nx = F_n cos Gigi = F_n sin Gigi $ * $ cos Gigi $ /$ sin Gigi $, il che è uguale a $ - (F_g + F_c sin Gigi) $ *$ cos Gigi $ / $ sin Gigi $. Ma nel momento appena prima che il bambino "svoli" maledicendo $ Gigi $ e tutta la sua stirpe, avremo $ -(F_g + F_c sin Gigi) $ * $ cos Gigi $ / $ sin Gigi $ $ = F_c cos Gigi $, da cui, con passaggi algebrici $ 2 v^2 $/ $ R $ $ = -g $/ $ sin Gigi $. Ma $ v $, per la conservazione dell'energia, è uguale a sqrt[$ 2g ( y_1 - y_0 ) $. Ma $ y_1 - Y_0 = R- R sin Gigi $. Perciò si ottiene $ 4 - 4 sin Gigi = $ $ -1 $ / $ sin Gigi $. Da qua il delirante risultato $ Gigi = -11, 85 $.
Consapevole che questa risoluzione entrerà nell'empireo delle cavolate della sezione fisica, chiedo a voi di spiegarmi per favore dove ho sbagliato. Scusate per il non ancora totale uso del LaTeX, abbiate pietà per me e per $ Gigi $.
Prima osservazione: noi dobbiamo curarci solo della componente orizzontale di $ F_net $, in quanto è quello che determina lo "svolo".
Detto $ Gigi $ l'angolo che $ F_n $ forma con la parallela al terreno (non trovo l'alfa), $ F_ny $ (la componente della forza normale su $ y $) sarà uguale a $ F_ny = F_n sin Gigi $. Ma sarà anche uguale a $ -( F_g + F_c sin Gigi ) $, dove $ F_c $ è la forza centripeta. Ma allora $ F_nx = F_n cos Gigi = F_n sin Gigi $ * $ cos Gigi $ /$ sin Gigi $, il che è uguale a $ - (F_g + F_c sin Gigi) $ *$ cos Gigi $ / $ sin Gigi $. Ma nel momento appena prima che il bambino "svoli" maledicendo $ Gigi $ e tutta la sua stirpe, avremo $ -(F_g + F_c sin Gigi) $ * $ cos Gigi $ / $ sin Gigi $ $ = F_c cos Gigi $, da cui, con passaggi algebrici $ 2 v^2 $/ $ R $ $ = -g $/ $ sin Gigi $. Ma $ v $, per la conservazione dell'energia, è uguale a sqrt[$ 2g ( y_1 - y_0 ) $. Ma $ y_1 - Y_0 = R- R sin Gigi $. Perciò si ottiene $ 4 - 4 sin Gigi = $ $ -1 $ / $ sin Gigi $. Da qua il delirante risultato $ Gigi = -11, 85 $.
Consapevole che questa risoluzione entrerà nell'empireo delle cavolate della sezione fisica, chiedo a voi di spiegarmi per favore dove ho sbagliato.
Scusate per il non ancora totale uso del LaTeX, abbiate pietà per me e per $ Gigi $.