Questo problema l'ho inventato stamattina, questa volta niente trappole...forse...
Spero che non ci siano errori!
Nell'ipotetico pianeta Qfdsgnmdf la velocità limite raggiunta da una sfera di ferro (densità: $ \displaystyle \rho_f =7,8 \frac{g}{cm^3} $ ) di raggio $ \displaystyle r_f=1dm $ nell'acqua (densità: $ \displaystyle \rho_a =1,0 \frac{g}{cm^3} $; coefficiente di viscosità: $ \displaystyle \eta_a =1,1 \cdot 10^{-3} Pa\cdot s $ ) in regime laminare è $ \displaystyle v_{lim}=0,5 \frac{m}{s} $ (per la risoluzione si considerino forza peso, spinta di Archimede e l'attrito viscoso).
Considerando questo pianeta come una sfera perfetta e omogenea ed escludendo la forza centrifuga, calcolare, se è possibile, la massa del pianeta, sapendo che il suo raggio è $ \displaystyle r_Q=7777km $!
Divertitevi!
La soluzione può essere strana...non preoccupatevi, ho messo dati a caso!
Quesito fisico by gabri! [05] Una sfera in acqua...
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Riccardo_ct
- Messaggi: 46
- Iscritto il: 23 nov 2007, 15:04
complimenti per il problema!! provo a risolverlo:
quando la sfera raggiunge la velocità limite la forza peso $ mg $ viene controbilanciata esattamente dalla spinta di archimede $ S_a $ e dalla forza di attrito viscoso dovuta al fluido $ F_a $
$ mg=S_a+F_a $
la spinta di archimede $ S_a $ è uguale al peso del liquido spostato dal corpo immerso $ S_a=\rho_a Vg $ e la forza di attrito viscoso è data dalla ben nota legge di Stokes secondo la quale la forza d'attrito è proporzionale dalla velocità nel caso di sferette abbastanza piccole(nell'ordine di qualche millimetro) e di velocità non troppo elevate $ F_a=6\pi\eta r_f v_{lim} $
abbiamo pertanto: $ \displaystyle mg=\rho_a Vg+6\pi\eta r_f v_{lim} $
per la massa della sferetta $ m=\rho_f V $
il volume $ V $ della sferetta è $ \displaystyle V=\frac{4}3 \pi {r_f}^3 $
sostituendo in conclusione si ha:
$ \displaystyle \rho_f \frac{4}3 \pi {r_f}^3 g =\rho_a \frac {4}3 \pi {r_f}^3 g+6 \pi \eta r_f v_{lim} $
ma poichè $ \displaystyle g=\gamma \frac{M_p} {R^2} $ dove $ \displaystyle \gamma $ è la costante di gravitazione universale $ M_p $ la massa del pianeta e $ R $ il raggio del pianeta
sostituendo anche qui si ottiene
$ \displaystyle \rho_f \frac{4}3 \pi {r_f}^3 \gamma \frac{M_p} {R^2} =\rho_a \frac {4}3 \pi {r_f}^3 \gamma \frac{M_p} {R^2}+6 \pi \eta r_f v_{lim} $
quindi la massa del pianeta è $ \displaystyle M_p=\frac {9\eta R^2 v_{lim}}{2\gamma {r_f}^2 (\rho_f-\rho_a)} $
sostituendo numericamente si ottiene $ 3,307 \cdot 10^{19} Kg $, praticamente un valore assurdo e fuori dagli schemi di plausibilità, probabilmente dovuto al sovradimensionamento della sfera (raggio=1dm!!??) e quindi all'inapplicabilità della legge di Stokes.
Il problema rimane comunque carino....basta cambiare un po i dati
quando la sfera raggiunge la velocità limite la forza peso $ mg $ viene controbilanciata esattamente dalla spinta di archimede $ S_a $ e dalla forza di attrito viscoso dovuta al fluido $ F_a $
$ mg=S_a+F_a $
la spinta di archimede $ S_a $ è uguale al peso del liquido spostato dal corpo immerso $ S_a=\rho_a Vg $ e la forza di attrito viscoso è data dalla ben nota legge di Stokes secondo la quale la forza d'attrito è proporzionale dalla velocità nel caso di sferette abbastanza piccole(nell'ordine di qualche millimetro) e di velocità non troppo elevate $ F_a=6\pi\eta r_f v_{lim} $
abbiamo pertanto: $ \displaystyle mg=\rho_a Vg+6\pi\eta r_f v_{lim} $
per la massa della sferetta $ m=\rho_f V $
il volume $ V $ della sferetta è $ \displaystyle V=\frac{4}3 \pi {r_f}^3 $
sostituendo in conclusione si ha:
$ \displaystyle \rho_f \frac{4}3 \pi {r_f}^3 g =\rho_a \frac {4}3 \pi {r_f}^3 g+6 \pi \eta r_f v_{lim} $
ma poichè $ \displaystyle g=\gamma \frac{M_p} {R^2} $ dove $ \displaystyle \gamma $ è la costante di gravitazione universale $ M_p $ la massa del pianeta e $ R $ il raggio del pianeta
sostituendo anche qui si ottiene
$ \displaystyle \rho_f \frac{4}3 \pi {r_f}^3 \gamma \frac{M_p} {R^2} =\rho_a \frac {4}3 \pi {r_f}^3 \gamma \frac{M_p} {R^2}+6 \pi \eta r_f v_{lim} $
quindi la massa del pianeta è $ \displaystyle M_p=\frac {9\eta R^2 v_{lim}}{2\gamma {r_f}^2 (\rho_f-\rho_a)} $
sostituendo numericamente si ottiene $ 3,307 \cdot 10^{19} Kg $, praticamente un valore assurdo e fuori dagli schemi di plausibilità, probabilmente dovuto al sovradimensionamento della sfera (raggio=1dm!!??) e quindi all'inapplicabilità della legge di Stokes.
Il problema rimane comunque carino....basta cambiare un po i dati
Ultima modifica di Riccardo_ct il 12 giu 2008, 19:45, modificato 4 volte in totale.
Re: Quesito fisico by gabri! [05] Una sfera in acqua...
Bè in efetti un po' strana è ma probabilmente ho sbagliato io...gabri ha scritto:La soluzione può essere strana...non preoccupatevi, ho messo dati a caso!
Allora... considerando le forze agenti sulla sfera che scende in acqua, abbiamo il peso verso il basso e la viscosità e la spinta di archimede verso l'alto. Attraverso alcuni semplici passaggi si arriva a determinare che l'accelerazione di gravità, che indicheremo con $ g_q $ è uguale a:
$ \displaystyle g_q= \frac{9 \eta V_l}{2( \rho_f- \rho_a)R^2} $
che risulta essere $ \displaystyle 3.6 \cdot10^{-3} \frac{m}{s^2} $ (?????)
da qui, sapendo che l'accelerazione di gravità di un pianeta è uguale a:
$ \displaystyle g= \frac{GM}{R^2} $
con G costante di gravitazione universale
ricaviamo che la massa del pianeta è $ \displaystyle 3.2 \cdot10^{21} Kg $
cosa c'è che non va nel latex????? aiutooo
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Aggiustato il LaTeX; per inciso, si chiude con
Codice: Seleziona tutto
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