Quesito fisico by gabri! [03] Un pazzo e un palo!

[gabri]

Innanzitutto spero che i miei problemi piacciano o almeno interessino, onestamente penso che trattino di argomenti abbastanza interessanti, ed è piacevole vedere che mettendo in comune le conoscenze siate riusciti a darmi la soluzione in breve tempo! Però forse i due che ho proposto non hanno molto a che fare con il problem solving, quindi sto per postarne uno che forse si avvicina un po' di più ad un problema vero e proprio, anche questo inventato da me!

Ho una sbarra di ferro di massa $ m_s=50 kg $ posizionata verticalmente che alla temperatura ambiente di 20 °C ha un'altezza $ h= 10m $.
Data la mia infermità mentale mi vien voglia di allungare questa sbarra di una lunghezza $ l= 2dm $ riscaldandola, supponendo che si dilati solo linearmente con la classica formula di dilatazione lineare.

Per fare ciò dispongo di un ipotetico forno che la surriscalda in modo omogeneo.
Tale forno funziona a legna ed io dispongo di 10 tronchetti di legno tutti di massa $ m_l=1kg $.
Ricordiamoci però che due terzi del calore prodotto dal forno saranno dispersi!
Mi saranno sufficienti tali tronchetti a farmi avere una sbarra alta $ 10,2 m $?
Se si quanti non ne avrò utilizzati?

Potere calorifico del legno è uguale a $ 15 {MJ}/{kg} $; i dati sul ferro li cercate voi!

P.s.: la risoluzione può essere fatta da un ragazzo che ha fatto la quarta come me; non usate formule strane!
P.p.s.: spero che il testo sia esatto: l'ho ricontrollato solo una volta, e pure velocemente!

[Pape]

formule convertite in LaTeX--------Mathomico

provo a risolvere ma è probabile che dica qualche castroneria perchè faccio solo il terzo scientifico.

allora iniziamo col dire che la variazione di lunghezza, considerando semplice dilatazione lineare è data da:

$ \Delta L= l_0 \cdot \lambda \cdot \Delta T $

con lambda coefficiente di dilatazione lineare, per il ferro uguale a $ \lambda=12\cdot 10^{-6} (°C)^{-1} $, e $ l_0 $ lunghezza iniziale.

Da qui ricaviamo che, per ottenere un allungamento di 2cm si deve avere un incremento di temperatura di 167°C, ma considerando che il ferro è a temperatura ambiente di 20°C allora essa si dovrà aumentare di soli 167°C-20°C cioè 147°C.

il calore necessario per questo incremento è calcolabile dalla relazione fondamentale della calorimetria:

$ Q=m\cdot c\cdot \Delta T $

con $ c $ calore specifico del ferro pari a $ c=0.45 J/(°C \cdot g) $ ed $ m $ massa del ferro (50 kg)

si trova che il calore necessario è di 3.3 MJ.
Questo nell'ipotesi in cui tutto il calore del forno venga trasmesso al ferro, ma poichè i 2/3 di dissipano allora bisogna fornire altri 2.2MJ. In totale ho quindi bisogno di 5.5MJ, corrispondenti alla combustione di 0.36 tronchetti.... verosimile come risultato??

scusatemi per qualche eventuale errore e per il "non-uso" del latex, prometto che lo imparerò a breve!

[gabri]

ho fatto un errore io e un errore te, il mio idota (ho scritto cm, ma intendevo dm e ora ho editato), il tuo invece è un errore dovuto al fatto che un dato poteva trarre in inganno...riesci a trovarlo?

Se si poi edita la tua risoluzione!

[Pape]

Tale forno funziona a legna ed io dispongo di 10 tronchetti di legno tutti di massa $ m_l=1kg $.

non è che ogni tronchetto ha massa 100grammi e 1 Kg è il peso totale dei 10 tronchetti???

[gabri]

No no...l'ho fatto così apposta!
10 tronchetti da un kg e una dilatazione lineare di 2 dm!

[AndBand89]

formule convertite in LaTeX--------Mathomico

Ho semplicemente dato una ricontrollata al tutto...poiché
$ \Delta L=L_0 \cdot \lambda \cdot \Delta T $,
viene che $ \Delta T $ dev'essere pari a $ 1,67 \cdot 10^3 K $.
Poichè $ Q=c \cdot m \cdot \Delta T $, viene che $ Q=3,75\cdot 10^7 J $. Questo sarebbe il calore necessario, ma tenendo conto che i 2/3 vengono dissipati necessitiamo di $ 11,27 \cdot 10^7 J $, cioè $ 112,7\cdot 10^6 MJ $. Ci serviaranno cioè 7,51 tronchetti.
Mi scuso anch'io per il mancato uso del LaTeX e per tutte le cavolate che sicuramente avrò scritto.

[gabri]

Ci serviaranno cioè 7,51 tronchetti.
Mi scuso anch'io per il mancato uso del LaTeX e per tutte le cavolate che sicuramente avrò scritto.

Niente cavolate: le formule e i calcoli sono giusti e il latex va benissimo!

Eppure la risposta è sbagliata!
Chi corregge?

[Riccardo_ct]

provo ad inquadrare anch'io questo problema...
la quantità di calore che viene fornita da $ n $ tronchetti di legno ognuno di massa $ m_t $ e di potere calorifico $ k $ è $ Q=nkm $.
Questo calore determina un innalzamento della temperatura $ \Delta T $

$ Q=c_{Fe}m_s \Delta T $ dove $ c_{Fe} $è il calore specifico del ferro, e $ m_s $ la massa della sbarra. Poichè solo $ \frac {1}3 $ del calore viene sfruttato si ha:
$ \frac{1}3 nkm_t=c_{Fe} m_s \Delta T $

Poichè la variazione di temperatura $ \Delta T $ determina di conseguenza un aumento della lunghezza della sbarra $ \Delta l= \alpha l_o \Delta T $ sostituiamo$ \Delta T $ nell'equazione precedente. Abbiamo quindi:

$ \displaystyle \frac{1}3 nkm_t=c_{Fe} m_s \frac{\Delta l}{\alpha l_o} $

dalla quale ricaviamo $ n $

$ \displaystyle n=\frac {3 c_{Fe} m_s \Delta l}{\alpha l_o k m_t} $

Abbiamo così una relazione che esprime il numero di tronchetti da utilizzare in funzione della dilatazione lineare che vogliamo ottenere e delle altre variabili.
Sostituendo numericamente mi viene: 7.4
praticamente 7 trochetti e mezzo dovrebbero bastare....

[gabri]

Come prima: calcoli e risoluzione sostanzialmente corretta.

Eppure risposta sbagliata! Ve lo assicuro!

[Ratio]

Io dico 2,6 tronchetti

Nella domanda non chiede quanti ne usa, ma quanti ne rimangono di non usati

[Fedecart]

$ \Delta L =L_0 \lambda \Delta T $
$ \lambda = 12.10^{-6} $
$ \Delta L = 0.2m $
$ L_0 = 10m $
$ 0.2= 10 * 12,10^{-6} \Delta T $
$ \Delta T = 1666.6 = 1667^° $

Quindi per fare allungare la sbarra di 0,2 metri ci serve una differenza di temperatura di 1667 gradi. Mettiamo ora tutti in Kelvin perchè mi piacciono di più.

Applichiamo il $ Q=mc \Delta T $ alla sbarra.
Però il nostro c avrà grammi nelle unità, quindi dobbiamo cambiare la massa in grammi ugualmente, oppure il c in kg, ma io cambio la massa (ed è qui credo che in molti abbiano dimenticato di far combaciare le unità)
$ c=0.45J / K * g $
$ q=mc \Delta T $
$ q=(50000g)(0.45)(1667)=37507500J=37507.5kJ $

Ora il forno deve produrre di più questo calore per darlo alla sbarra, dal momento che $ \frac{2}{3} $ di esso andranno sprecati.

Quindi abbiamo un q di 112522.5kJ.
Ora facciamo il $ q=mc \Delta T $ al legno!
Notare che qui nel c appaiono i kg quindi non si deve cambiare nulla
$ 112522500=(X)(15000000)(1667) $

Solviamo per X e abbiamo il numero dei tronchetti
che in questo problema sarebbe 0.0045.

Boh credo di sbagliare da qualche parte, mi sembra stranissima come risposta... Nel senso o è un legno magico super potente, o sto facendo un errore enorme da qualche parte... Fatemi sapere

[Pape]

mi sono accorto di aver fatto un errore di calcolo nel post precedente...ho considerato la dilatazione di 2 cm e non 2 dm. in questo modo ottengo 4.12 tronchetti....

[gabri]

@Ratio: Se la risposta giusta fosse 7,4 allora i tronchetti non utilizzati sarebbero 2!
Ma tanto 7,4 è sbagliato!

@Fedecart:
c'è un errore nel latex quindi non è chiaro...comunque a me "veniva un risultato" simile a quelli di AndBand89 e Riccardo_ct, quindi l'errore penso che l'abbia fatto te!

@Pape: hai sbagliato a sottrarre i 20°C!

Però vi aiuto dicendo che la risposta corretta è celata nella risposta di Fedecart che quindi pur sbagliando un calcolo ha fatto molto!

Ora devo uscire!
Domani mattina esigo di trovare la risposta corretta! A domani!

[String]

Ora facciamo il $ q=mc \Delta T $ al legno!

Secondo me è questo l'errore... il potere calorifico non è uguale al calore specifico in quanto rappresenta la quantità di calore sprigionata dalla completa combustione di un chilogrammo di legna.Si può notare anche dalle unità di misura... quindi non bisogna moltiplicare per $ \Delta T $... Il risultato comunque mi viene sempre 7,5

[SkZ]

Quindi abbiamo un q di 112522.5kJ.
Ora facciamo il $ q=mc \Delta T $ al legno!
Notare che qui nel c appaiono i kg quindi non si deve cambiare nulla

Guarda che non stai aumentando la temperatura del legno, ma la stai consumando per produrre calore, ergo
$ 112.5225\cdot 10^6=15\cdot 10^6M_l $, quindi $ M_l \simeq 7.5kg $

Cmq a $ $1535\; ^\circ C$ $ il ferro fonde, quindi basta arrivare a tale temp e avere uno stampo di 10.2m


@Gabri: Ricorda che i joule hanno la sigla maiuscola come tutte le unita' di misura che derivano da nomi propri.