Senigallia 2002 Problema 2

[Pigkappa]

Dal soffitto di una stanza pende un filo di lunghezza maggiore di 1 m che termina in un piccolo anello B. Nell'anello passa un secondo lungo filo, di massa trascurabile, alle cui estremità sono appesi due corpi: uno è una sfera omogenea di centro A, raggio $ \displaystyle R=0,5 m $ e massa M, l'altro un contrappeso di massa KM, con K>1.
In assenza di attriti, i corpi si dispongono in una situazione di equilibrio in cui la sfera è più in alto e il contrappeso più in basso. La porzione di filo che regge il contrappeso si adagia per un tratto CD sulla superficie della sfera.
In figura (vedi allegato) è rappresentata una possibile configurazione.


1. Disegnare le forze agenti sulla sfera e spiegarne l'origine fisica.
2. Determinare quanto è lungo il tratto CD di filo, in funzione di K.
3. Calcolare la risposta numerica per K=2 e K=4.





Buona fortuna!

[EDIT: metto in guarda i principianti: se siete proprio nuovissimi con i problemi di meccanica, questo non è un buon problema da cui partire. Ho riportato la parte principale del problema che è stato proposto a Senigallia 2002. Valeva 100 punti; nessuno è arrivato a totalizzarne 60, meno della metà dei partecipanti sono arrivati a 10 punti e solo un decimo sono arrivati a 20.]

[Ippo_]

1. Sulla sfera agisce la forza peso $ P=Mg $ diretta verso il basso, la tensione $ T=KMg $ diretta lungo il filo verso l'alto (perchè il filo regge il contrappeso e la tensione è uniforme in tutti i suoi punti essendo in equilibrio) e una forza $ F $ esercitata dalla porzione di filo a contatto con la sfera.

2. Qualche considerazione geometrica. In primo luogo si osserva che, poichè il sistema è in equilibrio e le tensioni dalle due parti di B sono in modulo uguali, allora i due angoli individuati dalla verticale passante per B rispettivamente con AB e con BC sono uguali (si deve avere $ KMg\cdot \cos(\alpha_{1}) - KMg\cdot \cos(\alpha_{2}) = 0 $ e quindi $ \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha $). Segue immediatamente che l'angolo individuato dalla verticale passante per A e dal segmento AB è anch'esso $ \alpha $ e quindi che l'angolo $ \widehat{BAC} $ vale $ \frac{\pi}{2}-2\alpha $, da cui anche $ \widehat{DAC}=\alpha $.
Detta $ T_{1} $ la tensione che agisce verticalmente dal contrappeso verso D e $ T_{2} $ quella che agisce da C verso B, poichè il filo è in equilibrio, si deve avere $ T_1=T_2-F $, ovvero
$ F=T_2-T_1 $. Si determinano separatamente le componenti:
$ F_y=KMg\cdot \cos(\alpha) - KMg = KMg\cdot(\cos(\alpha)-1) $
$ F_x=KMg\cdot \sin(\alpha) $
in un opportuno riferimento cartesiano.
Poichè il sistema è in equilibrio, si impone che la risultante delle forze agenti sulla sfera sia nulla. In orizzontale la cosa è del tutto ovvia. In verticale si ha:
$ T\cdot\cos(\alpha)+F_y+P=0 $ ovvero $ KMg\cdot\cos(\alpha)=KMg\cdot(1-\cos(\alpha))+Mg $. Dividendo tutto per $ Mg $:
$ K\cos(\alpha)=K(1-\cos(\alpha))+1 $,
$ 2K\cos(\alpha)=K+1 $,
$ \cos(\alpha)=\frac{K+1}{2K} $ e infine
$ \alpha=\arccos(\frac{K+1}{2K}) $.
Il tratto CD di filo è perciò lungo $ R\alpha=R\cdot\arccos(\frac{K+1}{2K}) $

3.Per K=2 si ha $ CD= 0,5m\cdot\arccos(\frac{3}{4})=0,3614m $
Per K=4 si ha $ CD= 0,5m\cdot\arccos(\frac{5}{8})=0,4478m $

[Pigkappa]

Non male, ma sarebbe troppo facile se si facesse così... Il primo risultato è giusto, il secondo è sbagliato